Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35023 / 47925
↖ ↑ ↗
← S 63.677941°
E 12.387085°		 ← 270.83 m → S 63.677941°
E 12.392578°		 →
↑
270.83 m
↓
↑
270.83 m
↓
S 63.680377°
E 12.387085°		 ← 270.81 m →
73 347 m²		 S 63.680377°
E 12.392578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534416198730469 y=0.731285095214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534416198730469 × 216)
    floor (0.534416198730469 × 65536)
    floor (35023.5)     		tx = 35023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731285095214844 × 216)
    floor (0.731285095214844 × 65536)
    floor (47925.5)     		ty = 47925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35023 / 47925 ti = "16/35023/47925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35023/47925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35023 ÷ 216
    35023 ÷ 65536     		x = 0.534408569335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47925 ÷ 216
    47925 ÷ 65536     		y = 0.731277465820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.534408569335938 × 2 - 1) × π
    0.068817138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.21619542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731277465820312 × 2 - 1) × π
    -0.462554931640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45315917508238
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21619542} λ = 0.21619542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45315917508238))-π/2
    2×atan(0.233830408804049)-π/2
    2×0.229703291219475-π/2
    0.459406582438951-1.57079632675     		φ = -1.11138974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21619542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.387085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11138974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.677941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35023 KachelY 47925 0.21619542 -1.11138974 12.387085 -63.677941
    Oben rechts KachelX + 1 35024 KachelY 47925 0.21629129 -1.11138974 12.392578 -63.677941
    Unten links KachelX 35023 KachelY + 1 47926 0.21619542 -1.11143225 12.387085 -63.680377
    Unten rechts KachelX + 1 35024 KachelY + 1 47926 0.21629129 -1.11143225 12.392578 -63.680377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11138974--1.11143225) × R
    4.25100000001066e-05 × 6371000     		dl = 270.831210000679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11138974--1.11143225) × R
    4.25100000001066e-05 × 6371000     		dr = 270.831210000679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21619542-0.21629129) × cos(-1.11138974) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.443416299446459 × 6371000     		do = 270.833252720549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21619542-0.21629129) × cos(-1.11143225) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.443378196661826 × 6371000     		du = 270.809980005692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11138974)-sin(-1.11143225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443416299446459-0.443378196661826)×R²
    abs(0.21629129-0.21619542)×3.81027846327875e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.81027846327875e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.81027846327875e-05×40589641000000     		ar = 73346.946064887m²