Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3502 / 2726
↖ ↑ ↗
← N 51.454007°
W 26.103515°		 ← 3 044.98 m → N 51.454007°
W 26.059570°		 →
↑
3 045.85 m
↓
↑
3 045.85 m
↓
N 51.426615°
W 26.103515°		 ← 3 046.81 m →
9 277 335 m²		 N 51.426615°
W 26.059570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42755126953125 y=0.33282470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42755126953125 × 213)
    floor (0.42755126953125 × 8192)
    floor (3502.5)     		tx = 3502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33282470703125 × 213)
    floor (0.33282470703125 × 8192)
    floor (2726.5)     		ty = 2726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3502 / 2726 ti = "13/3502/2726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3502/2726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3502 ÷ 213
    3502 ÷ 8192     		x = 0.427490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2726 ÷ 213
    2726 ÷ 8192     		y = 0.332763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427490234375 × 2 - 1) × π
    -0.14501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45559229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332763671875 × 2 - 1) × π
    0.33447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05077683967163
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45559229} λ = -0.45559229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05077683967163))-π/2
    2×atan(2.85987191731015)-π/2
    2×1.23441908035032-π/2
    2.46883816070064-1.57079632675     		φ = 0.89804183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45559229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.103515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89804183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.454007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3502 KachelY 2726 -0.45559229 0.89804183 -26.103515 51.454007
    Oben rechts KachelX + 1 3503 KachelY 2726 -0.45482530 0.89804183 -26.059570 51.454007
    Unten links KachelX 3502 KachelY + 1 2727 -0.45559229 0.89756375 -26.103515 51.426615
    Unten rechts KachelX + 1 3503 KachelY + 1 2727 -0.45482530 0.89756375 -26.059570 51.426615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89804183-0.89756375) × R
    0.000478080000000047 × 6371000     		dl = 3045.8476800003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89804183-0.89756375) × R
    0.000478080000000047 × 6371000     		dr = 3045.8476800003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45559229--0.45482530) × cos(0.89804183) × R
    0.000766990000000023 × 0.62314266278553 × 6371000     		do = 3044.98244041431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45559229--0.45482530) × cos(0.89756375) × R
    0.000766990000000023 × 0.623516501842158 × 6371000     		du = 3046.80920245607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89804183)-sin(0.89756375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62314266278553-0.623516501842158)×R²
    abs(-0.45482530--0.45559229)×0.000373839056628911×R²
    0.000766990000000023×0.000373839056628911×6371000²
    0.000766990000000023×0.000373839056628911×40589641000000     		ar = 9277334.89794658m²