Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35016 / 103352
↖ ↑ ↗
← S 71.462140°
W 83.825684°		 ← 97.10 m → S 71.462140°
W 83.822937°		 →
↑
97.09 m
↓
↑
97.09 m
↓
S 71.463013°
W 83.825684°		 ← 97.10 m →
9 428 m²		 S 71.463013°
W 83.822937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267154693603516 y=0.788516998291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267154693603516 × 217)
    floor (0.267154693603516 × 131072)
    floor (35016.5)     		tx = 35016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788516998291016 × 217)
    floor (0.788516998291016 × 131072)
    floor (103352.5)     		ty = 103352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35016 / 103352 ti = "17/35016/103352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35016/103352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35016 ÷ 217
    35016 ÷ 131072     		x = 0.26715087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103352 ÷ 217
    103352 ÷ 131072     		y = 0.78851318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26715087890625 × 2 - 1) × π
    -0.4656982421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.46303418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78851318359375 × 2 - 1) × π
    -0.5770263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.81278179603204
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46303418} λ = -1.46303418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81278179603204))-π/2
    2×atan(0.163199516997273)-π/2
    2×0.161773349558116-π/2
    0.323546699116233-1.57079632675     		φ = -1.24724963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46303418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.825684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24724963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.462140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35016 KachelY 103352 -1.46303418 -1.24724963 -83.825684 -71.462140
    Oben rechts KachelX + 1 35017 KachelY 103352 -1.46298624 -1.24724963 -83.822937 -71.462140
    Unten links KachelX 35016 KachelY + 1 103353 -1.46303418 -1.24726487 -83.825684 -71.463013
    Unten rechts KachelX + 1 35017 KachelY + 1 103353 -1.46298624 -1.24726487 -83.822937 -71.463013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24724963--1.24726487) × R
    1.52399999999719e-05 × 6371000     		dl = 97.0940399998212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24724963--1.24726487) × R
    1.52399999999719e-05 × 6371000     		dr = 97.0940399998212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46303418--1.46298624) × cos(-1.24724963) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.317931225299367 × 6371000     		do = 97.1043797561022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46303418--1.46298624) × cos(-1.24726487) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.31791677600847 × 6371000     		du = 97.0999665707376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24724963)-sin(-1.24726487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317931225299367-0.31791677600847)×R²
    abs(-1.46298624--1.46303418)×1.44492908966676e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.44492908966676e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.44492908966676e-05×40589641000000     		ar = 9428.04228531652m²