Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 35015 / 103351
↖ ↑ ↗
← S 71.461267°
W 83.828430°		 ← 97.09 m → S 71.461267°
W 83.825684°		 →
↑
97.09 m
↓
↑
97.09 m
↓
S 71.462140°
W 83.828430°		 ← 97.08 m →
9 427 m²		 S 71.462140°
W 83.825684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267147064208984 y=0.788509368896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267147064208984 × 217)
    floor (0.267147064208984 × 131072)
    floor (35015.5)     		tx = 35015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788509368896484 × 217)
    floor (0.788509368896484 × 131072)
    floor (103351.5)     		ty = 103351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35015 / 103351 ti = "17/35015/103351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35015/103351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35015 ÷ 217
    35015 ÷ 131072     		x = 0.267143249511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103351 ÷ 217
    103351 ÷ 131072     		y = 0.788505554199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267143249511719 × 2 - 1) × π
    -0.465713500976562 × 3.1415926535     		Λ = -1.46308211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788505554199219 × 2 - 1) × π
    -0.577011108398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.81273385913242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46308211} λ = -1.46308211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81273385913242))-π/2
    2×atan(0.163207340463652)-π/2
    2×0.161780970049959-π/2
    0.323561940099917-1.57079632675     		φ = -1.24723439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46308211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.828430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24723439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.461267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35015 KachelY 103351 -1.46308211 -1.24723439 -83.828430 -71.461267
    Oben rechts KachelX + 1 35016 KachelY 103351 -1.46303418 -1.24723439 -83.825684 -71.461267
    Unten links KachelX 35015 KachelY + 1 103352 -1.46308211 -1.24724963 -83.828430 -71.462140
    Unten rechts KachelX + 1 35016 KachelY + 1 103352 -1.46303418 -1.24724963 -83.825684 -71.462140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24723439--1.24724963) × R
    1.52399999999719e-05 × 6371000     		dl = 97.0940399998212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24723439--1.24724963) × R
    1.52399999999719e-05 × 6371000     		dr = 97.0940399998212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46308211--1.46303418) × cos(-1.24723439) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.317945674516422 × 6371000     		do = 97.0885366001132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46308211--1.46303418) × cos(-1.24724963) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.317931225299367 × 6371000     		du = 97.0841243578615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24723439)-sin(-1.24724963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317945674516422-0.317931225299367)×R²
    abs(-1.46303418--1.46308211)×1.4449217054735e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.4449217054735e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.4449217054735e-05×40589641000000     		ar = 9426.50405508073m²