Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35015 / 102989
↖ ↑ ↗
← S 71.142532°
W 83.828430°		 ← 98.70 m → S 71.142532°
W 83.825684°		 →
↑
98.69 m
↓
↑
98.69 m
↓
S 71.143419°
W 83.828430°		 ← 98.69 m →
9 740 m²		 S 71.143419°
W 83.825684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267147064208984 y=0.785747528076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267147064208984 × 217)
    floor (0.267147064208984 × 131072)
    floor (35015.5)     		tx = 35015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785747528076172 × 217)
    floor (0.785747528076172 × 131072)
    floor (102989.5)     		ty = 102989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35015 / 102989 ti = "17/35015/102989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35015/102989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35015 ÷ 217
    35015 ÷ 131072     		x = 0.267143249511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102989 ÷ 217
    102989 ÷ 131072     		y = 0.785743713378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267143249511719 × 2 - 1) × π
    -0.465713500976562 × 3.1415926535     		Λ = -1.46308211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785743713378906 × 2 - 1) × π
    -0.571487426757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.79538070146996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46308211} λ = -1.46308211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79538070146996))-π/2
    2×atan(0.166064219418721)-π/2
    2×0.164562455321412-π/2
    0.329124910642825-1.57079632675     		φ = -1.24167142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46308211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.828430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24167142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.142532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35015 KachelY 102989 -1.46308211 -1.24167142 -83.828430 -71.142532
    Oben rechts KachelX + 1 35016 KachelY 102989 -1.46303418 -1.24167142 -83.825684 -71.142532
    Unten links KachelX 35015 KachelY + 1 102990 -1.46308211 -1.24168691 -83.828430 -71.143419
    Unten rechts KachelX + 1 35016 KachelY + 1 102990 -1.46303418 -1.24168691 -83.825684 -71.143419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24167142--1.24168691) × R
    1.54900000000069e-05 × 6371000     		dl = 98.6867900000439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24167142--1.24168691) × R
    1.54900000000069e-05 × 6371000     		dr = 98.6867900000439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46308211--1.46303418) × cos(-1.24167142) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323215029199827 × 6371000     		do = 98.6975974430288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46308211--1.46303418) × cos(-1.24168691) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323200370578296 × 6371000     		du = 98.693121256601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24167142)-sin(-1.24168691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323215029199827-0.323200370578296)×R²
    abs(-1.46303418--1.46308211)×1.46586215312716e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46586215312716e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46586215312716e-05×40589641000000     		ar = 9739.92820239808m²