Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35014 / 103350
↖ ↑ ↗
← S 71.460393°
W 83.831177°		 ← 97.11 m → S 71.460393°
W 83.828430°		 →
↑
97.16 m
↓
↑
97.16 m
↓
S 71.461267°
W 83.831177°		 ← 97.11 m →
9 435 m²		 S 71.461267°
W 83.828430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267139434814453 y=0.788501739501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267139434814453 × 217)
    floor (0.267139434814453 × 131072)
    floor (35014.5)     		tx = 35014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788501739501953 × 217)
    floor (0.788501739501953 × 131072)
    floor (103350.5)     		ty = 103350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35014 / 103350 ti = "17/35014/103350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35014/103350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35014 ÷ 217
    35014 ÷ 131072     		x = 0.267135620117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103350 ÷ 217
    103350 ÷ 131072     		y = 0.788497924804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267135620117188 × 2 - 1) × π
    -0.465728759765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.46313005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788497924804688 × 2 - 1) × π
    -0.576995849609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.8126859222328
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46313005} λ = -1.46313005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8126859222328))-π/2
    2×atan(0.163215164305073)-π/2
    2×0.161788590888155-π/2
    0.32357718177631-1.57079632675     		φ = -1.24721914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46313005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.831177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24721914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.460393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35014 KachelY 103350 -1.46313005 -1.24721914 -83.831177 -71.460393
    Oben rechts KachelX + 1 35015 KachelY 103350 -1.46308211 -1.24721914 -83.828430 -71.460393
    Unten links KachelX 35014 KachelY + 1 103351 -1.46313005 -1.24723439 -83.831177 -71.461267
    Unten rechts KachelX + 1 35015 KachelY + 1 103351 -1.46308211 -1.24723439 -83.828430 -71.461267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24721914--1.24723439) × R
    1.52500000001332e-05 × 6371000     		dl = 97.1577500008487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24721914--1.24723439) × R
    1.52500000001332e-05 × 6371000     		dr = 97.1577500008487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46313005--1.46308211) × cos(-1.24721914) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.317960133140672 × 6371000     		do = 97.1132089549246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46313005--1.46308211) × cos(-1.24723439) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.317945674516422 × 6371000     		du = 97.1087929189135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24721914)-sin(-1.24723439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317960133140672-0.317945674516422)×R²
    abs(-1.46308211--1.46313005)×1.44586242504241e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.44586242504241e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.44586242504241e-05×40589641000000     		ar = 9435.08635155761m²