Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35013 / 102963
↖ ↑ ↗
← S 71.119437°
W 83.833924°		 ← 98.83 m → S 71.119437°
W 83.831177°		 →
↑
98.81 m
↓
↑
98.81 m
↓
S 71.120326°
W 83.833924°		 ← 98.83 m →
9 766 m²		 S 71.120326°
W 83.831177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267131805419922 y=0.785549163818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267131805419922 × 217)
    floor (0.267131805419922 × 131072)
    floor (35013.5)     		tx = 35013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785549163818359 × 217)
    floor (0.785549163818359 × 131072)
    floor (102963.5)     		ty = 102963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35013 / 102963 ti = "17/35013/102963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35013/102963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35013 ÷ 217
    35013 ÷ 131072     		x = 0.267127990722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102963 ÷ 217
    102963 ÷ 131072     		y = 0.785545349121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267127990722656 × 2 - 1) × π
    -0.465744018554688 × 3.1415926535     		Λ = -1.46317799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785545349121094 × 2 - 1) × π
    -0.571090698242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.79413434207984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46317799} λ = -1.46317799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79413434207984))-π/2
    2×atan(0.166271324154613)-π/2
    2×0.164763995192484-π/2
    0.329527990384967-1.57079632675     		φ = -1.24126834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46317799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.833924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24126834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.119437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35013 KachelY 102963 -1.46317799 -1.24126834 -83.833924 -71.119437
    Oben rechts KachelX + 1 35014 KachelY 102963 -1.46313005 -1.24126834 -83.831177 -71.119437
    Unten links KachelX 35013 KachelY + 1 102964 -1.46317799 -1.24128385 -83.833924 -71.120326
    Unten rechts KachelX + 1 35014 KachelY + 1 102964 -1.46313005 -1.24128385 -83.831177 -71.120326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24126834--1.24128385) × R
    1.55100000001074e-05 × 6371000     		dl = 98.8142100006841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24126834--1.24128385) × R
    1.55100000001074e-05 × 6371000     		dr = 98.8142100006841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46317799--1.46313005) × cos(-1.24126834) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323596447834897 × 6371000     		do = 98.8346845412801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46317799--1.46313005) × cos(-1.24128385) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323581772308568 × 6371000     		du = 98.8302022577909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24126834)-sin(-1.24128385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323596447834897-0.323581772308568)×R²
    abs(-1.46313005--1.46317799)×1.46755263298326e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46755263298326e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46755263298326e-05×40589641000000     		ar = 9766.04981718492m²