Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35010 / 102966
↖ ↑ ↗
← S 71.122103°
W 83.842163°		 ← 98.82 m → S 71.122103°
W 83.839416°		 →
↑
98.81 m
↓
↑
98.81 m
↓
S 71.122992°
W 83.842163°		 ← 98.82 m →
9 765 m²		 S 71.122992°
W 83.839416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267108917236328 y=0.785572052001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267108917236328 × 217)
    floor (0.267108917236328 × 131072)
    floor (35010.5)     		tx = 35010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785572052001953 × 217)
    floor (0.785572052001953 × 131072)
    floor (102966.5)     		ty = 102966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35010 / 102966 ti = "17/35010/102966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35010/102966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35010 ÷ 217
    35010 ÷ 131072     		x = 0.267105102539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102966 ÷ 217
    102966 ÷ 131072     		y = 0.785568237304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267105102539062 × 2 - 1) × π
    -0.465789794921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.46332180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785568237304688 × 2 - 1) × π
    -0.571136474609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7942781527787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46332180} λ = -1.46332180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7942781527787))-π/2
    2×atan(0.166247414278576)-π/2
    2×0.164740728459615-π/2
    0.32948145691923-1.57079632675     		φ = -1.24131487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46332180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.842163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24131487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.122103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35010 KachelY 102966 -1.46332180 -1.24131487 -83.842163 -71.122103
    Oben rechts KachelX + 1 35011 KachelY 102966 -1.46327386 -1.24131487 -83.839416 -71.122103
    Unten links KachelX 35010 KachelY + 1 102967 -1.46332180 -1.24133038 -83.842163 -71.122992
    Unten rechts KachelX + 1 35011 KachelY + 1 102967 -1.46327386 -1.24133038 -83.839416 -71.122992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24131487--1.24133038) × R
    1.55099999998853e-05 × 6371000     		dl = 98.8142099992695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24131487--1.24133038) × R
    1.55099999998853e-05 × 6371000     		dr = 98.8142099992695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46332180--1.46327386) × cos(-1.24131487) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323552421022389 × 6371000     		do = 98.8212376194899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46332180--1.46327386) × cos(-1.24133038) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323537745262547 × 6371000     		du = 98.8167552646802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24131487)-sin(-1.24133038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323552421022389-0.323537745262547)×R²
    abs(-1.46327386--1.46332180)×1.46757598415981e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46757598415981e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46757598415981e-05×40589641000000     		ar = 9764.72106651794m²