Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35008 / 103232
↖ ↑ ↗
← S 71.357067°
W 83.847656°		 ← 97.64 m → S 71.357067°
W 83.844909°		 →
↑
97.60 m
↓
↑
97.60 m
↓
S 71.357945°
W 83.847656°		 ← 97.63 m →
9 529 m²		 S 71.357945°
W 83.844909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267093658447266 y=0.787601470947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267093658447266 × 217)
    floor (0.267093658447266 × 131072)
    floor (35008.5)     		tx = 35008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787601470947266 × 217)
    floor (0.787601470947266 × 131072)
    floor (103232.5)     		ty = 103232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35008 / 103232 ti = "17/35008/103232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35008/103232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35008 ÷ 217
    35008 ÷ 131072     		x = 0.26708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103232 ÷ 217
    103232 ÷ 131072     		y = 0.78759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26708984375 × 2 - 1) × π
    -0.4658203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.46341767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78759765625 × 2 - 1) × π
    -0.5751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.80702936807764
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46341767} λ = -1.46341767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80702936807764))-π/2
    2×atan(0.164141015816843)-π/2
    2×0.162690285477853-π/2
    0.325380570955705-1.57079632675     		φ = -1.24541576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46341767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.847656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24541576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.357067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35008 KachelY 103232 -1.46341767 -1.24541576 -83.847656 -71.357067
    Oben rechts KachelX + 1 35009 KachelY 103232 -1.46336973 -1.24541576 -83.844909 -71.357067
    Unten links KachelX 35008 KachelY + 1 103233 -1.46341767 -1.24543108 -83.847656 -71.357945
    Unten rechts KachelX + 1 35009 KachelY + 1 103233 -1.46336973 -1.24543108 -83.844909 -71.357945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24541576--1.24543108) × R
    1.53199999999298e-05 × 6371000     		dl = 97.603719999553m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24541576--1.24543108) × R
    1.53199999999298e-05 × 6371000     		dr = 97.603719999553m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46341767--1.46336973) × cos(-1.24541576) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.31966940712501 × 6371000     		do = 97.6352652264534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46341767--1.46336973) × cos(-1.24543108) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.31965489094108 × 6371000     		du = 97.6308316102347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24541576)-sin(-1.24543108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31966940712501-0.31965489094108)×R²
    abs(-1.46336973--1.46341767)×1.45161839296692e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45161839296692e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45161839296692e-05×40589641000000     		ar = 9529.34872085938m²