Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35007 / 103231
↖ ↑ ↗
← S 71.356188°
W 83.850403°		 ← 97.64 m → S 71.356188°
W 83.847656°		 →
↑
97.67 m
↓
↑
97.67 m
↓
S 71.357067°
W 83.850403°		 ← 97.64 m →
9 536 m²		 S 71.357067°
W 83.847656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267086029052734 y=0.787593841552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267086029052734 × 217)
    floor (0.267086029052734 × 131072)
    floor (35007.5)     		tx = 35007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787593841552734 × 217)
    floor (0.787593841552734 × 131072)
    floor (103231.5)     		ty = 103231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35007 / 103231 ti = "17/35007/103231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35007/103231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35007 ÷ 217
    35007 ÷ 131072     		x = 0.267082214355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103231 ÷ 217
    103231 ÷ 131072     		y = 0.787590026855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267082214355469 × 2 - 1) × π
    -0.465835571289062 × 3.1415926535     		Λ = -1.46346561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787590026855469 × 2 - 1) × π
    -0.575180053710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.80698143117802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46346561} λ = -1.46346561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80698143117802))-π/2
    2×atan(0.164148884416838)-π/2
    2×0.1626979476321-π/2
    0.325395895264199-1.57079632675     		φ = -1.24540043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46346561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.850403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24540043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.356188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35007 KachelY 103231 -1.46346561 -1.24540043 -83.850403 -71.356188
    Oben rechts KachelX + 1 35008 KachelY 103231 -1.46341767 -1.24540043 -83.847656 -71.356188
    Unten links KachelX 35007 KachelY + 1 103232 -1.46346561 -1.24541576 -83.850403 -71.357067
    Unten rechts KachelX + 1 35008 KachelY + 1 103232 -1.46341767 -1.24541576 -83.847656 -71.357067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24540043--1.24541576) × R
    1.53300000000911e-05 × 6371000     		dl = 97.6674300005804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24540043--1.24541576) × R
    1.53300000000911e-05 × 6371000     		dr = 97.6674300005804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46346561--1.46341767) × cos(-1.24540043) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.319683932709155 × 6371000     		do = 97.6397017141921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46346561--1.46341767) × cos(-1.24541576) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.31966940712501 × 6371000     		du = 97.6352652269056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24540043)-sin(-1.24541576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319683932709155-0.31966940712501)×R²
    abs(-1.46341767--1.46346561)×1.45255841449976e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.45255841449976e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.45255841449976e-05×40589641000000     		ar = 9536.00208238072m²