Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35003 / 48908
↖ ↑ ↗
← S 65.973325°
E 12.277222°		 ← 248.72 m → S 65.973325°
E 12.282715°		 →
↑
248.72 m
↓
↑
248.72 m
↓
S 65.975562°
E 12.277222°		 ← 248.69 m →
61 859 m²		 S 65.975562°
E 12.282715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534111022949219 y=0.746284484863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534111022949219 × 216)
    floor (0.534111022949219 × 65536)
    floor (35003.5)     		tx = 35003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746284484863281 × 216)
    floor (0.746284484863281 × 65536)
    floor (48908.5)     		ty = 48908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35003 / 48908 ti = "16/35003/48908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35003/48908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35003 ÷ 216
    35003 ÷ 65536     		x = 0.534103393554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48908 ÷ 216
    48908 ÷ 65536     		y = 0.74627685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.534103393554688 × 2 - 1) × π
    0.068206787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.21427794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74627685546875 × 2 - 1) × π
    -0.4925537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54740311973541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21427794} λ = 0.21427794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54740311973541))-π/2
    2×atan(0.212799872698659)-π/2
    2×0.209672292073482-π/2
    0.419344584146965-1.57079632675     		φ = -1.15145174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21427794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.277222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15145174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.973325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35003 KachelY 48908 0.21427794 -1.15145174 12.277222 -65.973325
    Oben rechts KachelX + 1 35004 KachelY 48908 0.21437382 -1.15145174 12.282715 -65.973325
    Unten links KachelX 35003 KachelY + 1 48909 0.21427794 -1.15149078 12.277222 -65.975562
    Unten rechts KachelX + 1 35004 KachelY + 1 48909 0.21437382 -1.15149078 12.282715 -65.975562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15145174--1.15149078) × R
    3.90400000001012e-05 × 6371000     		dl = 248.723840000645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15145174--1.15149078) × R
    3.90400000001012e-05 × 6371000     		dr = 248.723840000645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21427794-0.21437382) × cos(-1.15145174) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.407161914973395 × 6371000     		do = 248.715458361114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21427794-0.21437382) × cos(-1.15149078) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.407126257245048 × 6371000     		du = 248.693676784979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15145174)-sin(-1.15149078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407161914973395-0.407126257245048)×R²
    abs(0.21437382-0.21427794)×3.56577283477377e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.56577283477377e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.56577283477377e-05×40589641000000     		ar = 61858.7550803479m²