Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35003 / 47757
↖ ↑ ↗
← S 63.265770°
E 12.277222°		 ← 274.79 m → S 63.265770°
E 12.282715°		 →
↑
274.72 m
↓
↑
274.72 m
↓
S 63.268241°
E 12.277222°		 ← 274.77 m →
75 487 m²		 S 63.268241°
E 12.282715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534111022949219 y=0.728721618652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534111022949219 × 216)
    floor (0.534111022949219 × 65536)
    floor (35003.5)     		tx = 35003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728721618652344 × 216)
    floor (0.728721618652344 × 65536)
    floor (47757.5)     		ty = 47757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35003 / 47757 ti = "16/35003/47757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35003/47757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35003 ÷ 216
    35003 ÷ 65536     		x = 0.534103393554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47757 ÷ 216
    47757 ÷ 65536     		y = 0.728713989257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.534103393554688 × 2 - 1) × π
    0.068206787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.21427794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728713989257812 × 2 - 1) × π
    -0.457427978515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.43705237681004
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21427794} λ = 0.21427794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43705237681004))-π/2
    2×atan(0.237627162721344)-π/2
    2×0.233300170140496-π/2
    0.466600340280993-1.57079632675     		φ = -1.10419599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21427794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.277222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10419599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.265770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35003 KachelY 47757 0.21427794 -1.10419599 12.277222 -63.265770
    Oben rechts KachelX + 1 35004 KachelY 47757 0.21437382 -1.10419599 12.282715 -63.265770
    Unten links KachelX 35003 KachelY + 1 47758 0.21427794 -1.10423911 12.277222 -63.268241
    Unten rechts KachelX + 1 35004 KachelY + 1 47758 0.21437382 -1.10423911 12.282715 -63.268241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10419599--1.10423911) × R
    4.31199999999521e-05 × 6371000     		dl = 274.717519999695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10419599--1.10423911) × R
    4.31199999999521e-05 × 6371000     		dr = 274.717519999695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21427794-0.21437382) × cos(-1.10419599) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.449852642151848 × 6371000     		do = 274.793152240346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21427794-0.21437382) × cos(-1.10423911) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.449814131141177 × 6371000     		du = 274.769627732481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10419599)-sin(-1.10423911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449852642151848-0.449814131141177)×R²
    abs(0.21437382-0.21427794)×3.85110106712605e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.85110106712605e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.85110106712605e-05×40589641000000     		ar = 75487.2620110249m²