Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 35002 / 18622
↖ ↑ ↗
← N 77.953560°
W 83.864136°		 ← 63.73 m → N 77.953560°
W 83.861389°		 →
↑
63.71 m
↓
↑
63.71 m
↓
N 77.952987°
W 83.864136°		 ← 63.73 m →
4 060 m²		 N 77.952987°
W 83.861389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267047882080078 y=0.142078399658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267047882080078 × 217)
    floor (0.267047882080078 × 131072)
    floor (35002.5)     		tx = 35002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142078399658203 × 217)
    floor (0.142078399658203 × 131072)
    floor (18622.5)     		ty = 18622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35002 / 18622 ti = "17/35002/18622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35002/18622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35002 ÷ 217
    35002 ÷ 131072     		x = 0.267044067382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18622 ÷ 217
    18622 ÷ 131072     		y = 0.142074584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267044067382812 × 2 - 1) × π
    -0.465911865234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.46370529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142074584960938 × 2 - 1) × π
    0.715850830078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24891170877531
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46370529} λ = -1.46370529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24891170877531))-π/2
    2×atan(9.47741603319984)-π/2
    2×1.46567130925841-π/2
    2.93134261851682-1.57079632675     		φ = 1.36054629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46370529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.864136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36054629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.953560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35002 KachelY 18622 -1.46370529 1.36054629 -83.864136 77.953560
    Oben rechts KachelX + 1 35003 KachelY 18622 -1.46365736 1.36054629 -83.861389 77.953560
    Unten links KachelX 35002 KachelY + 1 18623 -1.46370529 1.36053629 -83.864136 77.952987
    Unten rechts KachelX + 1 35003 KachelY + 1 18623 -1.46365736 1.36053629 -83.861389 77.952987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36054629-1.36053629) × R
    1.00000000000655e-05 × 6371000     		dl = 63.7100000004174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36054629-1.36053629) × R
    1.00000000000655e-05 × 6371000     		dr = 63.7100000004174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46370529--1.46365736) × cos(1.36054629) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.208704437042489 × 6371000     		do = 63.7304105653408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46370529--1.46365736) × cos(1.36053629) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.208714216819669 × 6371000     		du = 63.7333969379533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36054629)-sin(1.36053629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208704437042489-0.208714216819669)×R²
    abs(-1.46365736--1.46370529)×9.77977717975254e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.77977717975254e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.77977717975254e-06×40589641000000     		ar = 4060.35958803663m²