Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35001 / 103287
↖ ↑ ↗
← S 71.405296°
W 83.866882°		 ← 97.39 m → S 71.405296°
W 83.864136°		 →
↑
97.41 m
↓
↑
97.41 m
↓
S 71.406172°
W 83.866882°		 ← 97.39 m →
9 487 m²		 S 71.406172°
W 83.864136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267040252685547 y=0.788021087646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267040252685547 × 217)
    floor (0.267040252685547 × 131072)
    floor (35001.5)     		tx = 35001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788021087646484 × 217)
    floor (0.788021087646484 × 131072)
    floor (103287.5)     		ty = 103287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35001 / 103287 ti = "17/35001/103287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35001/103287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35001 ÷ 217
    35001 ÷ 131072     		x = 0.267036437988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103287 ÷ 217
    103287 ÷ 131072     		y = 0.788017272949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267036437988281 × 2 - 1) × π
    -0.465927124023438 × 3.1415926535     		Λ = -1.46375323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788017272949219 × 2 - 1) × π
    -0.576034545898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.80966589755674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46375323} λ = -1.46375323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80966589755674))-π/2
    2×atan(0.163708823184578)-π/2
    2×0.162269402556057-π/2
    0.324538805112115-1.57079632675     		φ = -1.24625752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46375323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.866882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24625752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.405296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35001 KachelY 103287 -1.46375323 -1.24625752 -83.866882 -71.405296
    Oben rechts KachelX + 1 35002 KachelY 103287 -1.46370529 -1.24625752 -83.864136 -71.405296
    Unten links KachelX 35001 KachelY + 1 103288 -1.46375323 -1.24627281 -83.866882 -71.406172
    Unten rechts KachelX + 1 35002 KachelY + 1 103288 -1.46370529 -1.24627281 -83.864136 -71.406172
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24625752--1.24627281) × R
    1.52900000001122e-05 × 6371000     		dl = 97.4125900007146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24625752--1.24627281) × R
    1.52900000001122e-05 × 6371000     		dr = 97.4125900007146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46375323--1.46370529) × cos(-1.24625752) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.318871701838304 × 6371000     		do = 97.3916254989595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46375323--1.46370529) × cos(-1.24627281) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.318857209971313 × 6371000     		du = 97.3871993097598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24625752)-sin(-1.24627281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318871701838304-0.318857209971313)×R²
    abs(-1.46370529--1.46375323)×1.44918669908178e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.44918669908178e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.44918669908178e-05×40589641000000     		ar = 9486.95490114202m²