Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 34998 / 18630
↖ ↑ ↗
← N 77.948974°
W 83.875122°		 ← 63.77 m → N 77.948974°
W 83.872375°		 →
↑
63.77 m
↓
↑
63.77 m
↓
N 77.948400°
W 83.875122°		 ← 63.77 m →
4 067 m²		 N 77.948400°
W 83.872375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267017364501953 y=0.142139434814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267017364501953 × 217)
    floor (0.267017364501953 × 131072)
    floor (34998.5)     		tx = 34998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142139434814453 × 217)
    floor (0.142139434814453 × 131072)
    floor (18630.5)     		ty = 18630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34998 / 18630 ti = "17/34998/18630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34998/18630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34998 ÷ 217
    34998 ÷ 131072     		x = 0.267013549804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18630 ÷ 217
    18630 ÷ 131072     		y = 0.142135620117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267013549804688 × 2 - 1) × π
    -0.465972900390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.46389704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142135620117188 × 2 - 1) × π
    0.715728759765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24852821357835
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46389704} λ = -1.46389704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24852821357835))-π/2
    2×atan(9.47378218649742)-π/2
    2×1.46563128317876-π/2
    2.93126256635752-1.57079632675     		φ = 1.36046624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46389704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.875122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36046624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.948974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34998 KachelY 18630 -1.46389704 1.36046624 -83.875122 77.948974
    Oben rechts KachelX + 1 34999 KachelY 18630 -1.46384910 1.36046624 -83.872375 77.948974
    Unten links KachelX 34998 KachelY + 1 18631 -1.46389704 1.36045623 -83.875122 77.948400
    Unten rechts KachelX + 1 34999 KachelY + 1 18631 -1.46384910 1.36045623 -83.872375 77.948400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36046624-1.36045623) × R
    1.00100000000047e-05 × 6371000     		dl = 63.7737100000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36046624-1.36045623) × R
    1.00100000000047e-05 × 6371000     		dr = 63.7737100000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46389704--1.46384910) × cos(1.36046624) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208782723573575 × 6371000     		do = 63.7676178466328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46389704--1.46384910) × cos(1.36045623) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208792512963251 × 6371000     		du = 63.7706077782188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36046624)-sin(1.36045623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208782723573575-0.208792512963251)×R²
    abs(-1.46384910--1.46389704)×9.7893896761625e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.7893896761625e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.7893896761625e-06×40589641000000     		ar = 4066.79290757345m²