Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34997 / 103283
↖ ↑ ↗
← S 71.401792°
W 83.877869°		 ← 97.41 m → S 71.401792°
W 83.875122°		 →
↑
97.41 m
↓
↑
97.41 m
↓
S 71.402669°
W 83.877869°		 ← 97.40 m →
9 489 m²		 S 71.402669°
W 83.875122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267009735107422 y=0.787990570068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267009735107422 × 217)
    floor (0.267009735107422 × 131072)
    floor (34997.5)     		tx = 34997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787990570068359 × 217)
    floor (0.787990570068359 × 131072)
    floor (103283.5)     		ty = 103283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34997 / 103283 ti = "17/34997/103283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34997/103283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34997 ÷ 217
    34997 ÷ 131072     		x = 0.267005920410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103283 ÷ 217
    103283 ÷ 131072     		y = 0.787986755371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267005920410156 × 2 - 1) × π
    -0.465988159179688 × 3.1415926535     		Λ = -1.46394498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787986755371094 × 2 - 1) × π
    -0.575973510742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.80947414995826
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46394498} λ = -1.46394498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80947414995826))-π/2
    2×atan(0.163740216968018)-π/2
    2×0.162299976775575-π/2
    0.32459995355115-1.57079632675     		φ = -1.24619637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46394498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.877869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24619637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.401792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34997 KachelY 103283 -1.46394498 -1.24619637 -83.877869 -71.401792
    Oben rechts KachelX + 1 34998 KachelY 103283 -1.46389704 -1.24619637 -83.875122 -71.401792
    Unten links KachelX 34997 KachelY + 1 103284 -1.46394498 -1.24621166 -83.877869 -71.402669
    Unten rechts KachelX + 1 34998 KachelY + 1 103284 -1.46389704 -1.24621166 -83.875122 -71.402669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24619637--1.24621166) × R
    1.52899999998901e-05 × 6371000     		dl = 97.4125899992999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24619637--1.24621166) × R
    1.52899999998901e-05 × 6371000     		dr = 97.4125899992999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46394498--1.46389704) × cos(-1.24619637) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.318929659082978 × 6371000     		do = 97.4093271333023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46394498--1.46389704) × cos(-1.24621166) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.318915167514147 × 6371000     		du = 97.4049010351685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24619637)-sin(-1.24621166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318929659082978-0.318915167514147)×R²
    abs(-1.46389704--1.46394498)×1.44915688305436e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.44915688305436e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.44915688305436e-05×40589641000000     		ar = 9488.6792674732m²