Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34997 / 102994
↖ ↑ ↗
← S 71.146970°
W 83.877869°		 ← 98.70 m → S 71.146970°
W 83.875122°		 →
↑
98.69 m
↓
↑
98.69 m
↓
S 71.147858°
W 83.877869°		 ← 98.69 m →
9 740 m²		 S 71.147858°
W 83.875122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267009735107422 y=0.785785675048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267009735107422 × 217)
    floor (0.267009735107422 × 131072)
    floor (34997.5)     		tx = 34997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785785675048828 × 217)
    floor (0.785785675048828 × 131072)
    floor (102994.5)     		ty = 102994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34997 / 102994 ti = "17/34997/102994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34997/102994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34997 ÷ 217
    34997 ÷ 131072     		x = 0.267005920410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102994 ÷ 217
    102994 ÷ 131072     		y = 0.785781860351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267005920410156 × 2 - 1) × π
    -0.465988159179688 × 3.1415926535     		Λ = -1.46394498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785781860351562 × 2 - 1) × π
    -0.571563720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79562038596806
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46394498} λ = -1.46394498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79562038596806))-π/2
    2×atan(0.16602442116934)-π/2
    2×0.164523724897564-π/2
    0.329047449795127-1.57079632675     		φ = -1.24174888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46394498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.877869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24174888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.146970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34997 KachelY 102994 -1.46394498 -1.24174888 -83.877869 -71.146970
    Oben rechts KachelX + 1 34998 KachelY 102994 -1.46389704 -1.24174888 -83.875122 -71.146970
    Unten links KachelX 34997 KachelY + 1 102995 -1.46394498 -1.24176437 -83.877869 -71.147858
    Unten rechts KachelX + 1 34998 KachelY + 1 102995 -1.46389704 -1.24176437 -83.875122 -71.147858
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24174888--1.24176437) × R
    1.54900000000069e-05 × 6371000     		dl = 98.6867900000439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24174888--1.24176437) × R
    1.54900000000069e-05 × 6371000     		dr = 98.6867900000439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46394498--1.46389704) × cos(-1.24174888) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323141725853213 × 6371000     		do = 98.6958007435299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46394498--1.46389704) × cos(-1.24176437) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323127066843923 × 6371000     		du = 98.6913235047699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24174888)-sin(-1.24176437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323141725853213-0.323127066843923)×R²
    abs(-1.46389704--1.46394498)×1.46590092897636e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46590092897636e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46590092897636e-05×40589641000000     		ar = 9739.75083977867m²