Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34996 / 48372
↖ ↑ ↗
← S 64.746017°
E 12.238769°		 ← 260.61 m → S 64.746017°
E 12.244263°		 →
↑
260.57 m
↓
↑
260.57 m
↓
S 64.748361°
E 12.238769°		 ← 260.59 m →
67 905 m²		 S 64.748361°
E 12.244263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534004211425781 y=0.738105773925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534004211425781 × 216)
    floor (0.534004211425781 × 65536)
    floor (34996.5)     		tx = 34996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738105773925781 × 216)
    floor (0.738105773925781 × 65536)
    floor (48372.5)     		ty = 48372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34996 / 48372 ti = "16/34996/48372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34996/48372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34996 ÷ 216
    34996 ÷ 65536     		x = 0.53399658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48372 ÷ 216
    48372 ÷ 65536     		y = 0.73809814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53399658203125 × 2 - 1) × π
    0.0679931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.21360682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73809814453125 × 2 - 1) × π
    -0.4761962890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49601476334271
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21360682} λ = 0.21360682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49601476334271))-π/2
    2×atan(0.224021160887155)-π/2
    2×0.220382574114071-π/2
    0.440765148228142-1.57079632675     		φ = -1.13003118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21360682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.238769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13003118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.746017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34996 KachelY 48372 0.21360682 -1.13003118 12.238769 -64.746017
    Oben rechts KachelX + 1 34997 KachelY 48372 0.21370270 -1.13003118 12.244263 -64.746017
    Unten links KachelX 34996 KachelY + 1 48373 0.21360682 -1.13007208 12.238769 -64.748361
    Unten rechts KachelX + 1 34997 KachelY + 1 48373 0.21370270 -1.13007208 12.244263 -64.748361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13003118--1.13007208) × R
    4.08999999998994e-05 × 6371000     		dl = 260.573899999359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13003118--1.13007208) × R
    4.08999999998994e-05 × 6371000     		dr = 260.573899999359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21360682-0.21370270) × cos(-1.13003118) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.426631608150699 × 6371000     		do = 260.608549253615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21360682-0.21370270) × cos(-1.13007208) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.426594616791242 × 6371000     		du = 260.585953026943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13003118)-sin(-1.13007208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426631608150699-0.426594616791242)×R²
    abs(0.21370270-0.21360682)×3.69913594570614e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.69913594570614e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.69913594570614e-05×40589641000000     		ar = 67904.8420678498m²