Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34996 / 102997
↖ ↑ ↗
← S 71.149633°
W 83.880615°		 ← 98.66 m → S 71.149633°
W 83.877869°		 →
↑
98.62 m
↓
↑
98.62 m
↓
S 71.150520°
W 83.880615°		 ← 98.66 m →
9 730 m²		 S 71.150520°
W 83.877869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267002105712891 y=0.785808563232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267002105712891 × 217)
    floor (0.267002105712891 × 131072)
    floor (34996.5)     		tx = 34996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785808563232422 × 217)
    floor (0.785808563232422 × 131072)
    floor (102997.5)     		ty = 102997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34996 / 102997 ti = "17/34996/102997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34996/102997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34996 ÷ 217
    34996 ÷ 131072     		x = 0.266998291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102997 ÷ 217
    102997 ÷ 131072     		y = 0.785804748535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266998291015625 × 2 - 1) × π
    -0.46600341796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.46399291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785804748535156 × 2 - 1) × π
    -0.571609497070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.79576419666692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46399291} λ = -1.46399291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79576419666692))-π/2
    2×atan(0.16600054679804)-π/2
    2×0.164500490859713-π/2
    0.329000981719426-1.57079632675     		φ = -1.24179535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46399291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.880615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24179535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.149633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34996 KachelY 102997 -1.46399291 -1.24179535 -83.880615 -71.149633
    Oben rechts KachelX + 1 34997 KachelY 102997 -1.46394498 -1.24179535 -83.877869 -71.149633
    Unten links KachelX 34996 KachelY + 1 102998 -1.46399291 -1.24181083 -83.880615 -71.150520
    Unten rechts KachelX + 1 34997 KachelY + 1 102998 -1.46394498 -1.24181083 -83.877869 -71.150520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24179535--1.24181083) × R
    1.54799999998456e-05 × 6371000     		dl = 98.6230799990164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24179535--1.24181083) × R
    1.54799999998456e-05 × 6371000     		dr = 98.6230799990164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46399291--1.46394498) × cos(-1.24179535) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323097748592753 × 6371000     		do = 98.6617843987732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46399291--1.46394498) × cos(-1.24181083) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323083098814587 × 6371000     		du = 98.6573109127733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24179535)-sin(-1.24181083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323097748592753-0.323083098814587)×R²
    abs(-1.46394498--1.46399291)×1.46497781665089e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46497781665089e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46497781665089e-05×40589641000000     		ar = 9730.10846115615m²