Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34994 / 103278
↖ ↑ ↗
← S 71.397412°
W 83.886109°		 ← 97.43 m → S 71.397412°
W 83.883362°		 →
↑
97.41 m
↓
↑
97.41 m
↓
S 71.398288°
W 83.886109°		 ← 97.43 m →
9 491 m²		 S 71.398288°
W 83.883362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266986846923828 y=0.787952423095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266986846923828 × 217)
    floor (0.266986846923828 × 131072)
    floor (34994.5)     		tx = 34994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787952423095703 × 217)
    floor (0.787952423095703 × 131072)
    floor (103278.5)     		ty = 103278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34994 / 103278 ti = "17/34994/103278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34994/103278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34994 ÷ 217
    34994 ÷ 131072     		x = 0.266983032226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103278 ÷ 217
    103278 ÷ 131072     		y = 0.787948608398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266983032226562 × 2 - 1) × π
    -0.466033935546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.46408879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787948608398438 × 2 - 1) × π
    -0.575897216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80923446546016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46408879} λ = -1.46408879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80923446546016))-π/2
    2×atan(0.163779467663445)-π/2
    2×0.162338202364449-π/2
    0.324676404728899-1.57079632675     		φ = -1.24611992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46408879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.886109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24611992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.397412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34994 KachelY 103278 -1.46408879 -1.24611992 -83.886109 -71.397412
    Oben rechts KachelX + 1 34995 KachelY 103278 -1.46404085 -1.24611992 -83.883362 -71.397412
    Unten links KachelX 34994 KachelY + 1 103279 -1.46408879 -1.24613521 -83.886109 -71.398288
    Unten rechts KachelX + 1 34995 KachelY + 1 103279 -1.46404085 -1.24613521 -83.883362 -71.398288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24611992--1.24613521) × R
    1.52900000001122e-05 × 6371000     		dl = 97.4125900007146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24611992--1.24613521) × R
    1.52900000001122e-05 × 6371000     		dr = 97.4125900007146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46408879--1.46404085) × cos(-1.24611992) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319002115808653 × 6371000     		do = 97.4314572823597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46408879--1.46404085) × cos(-1.24613521) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.31898762461266 × 6371000     		du = 97.4270312980999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24611992)-sin(-1.24613521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319002115808653-0.31898762461266)×R²
    abs(-1.46404085--1.46408879)×1.44911959934491e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.44911959934491e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.44911959934491e-05×40589641000000     		ar = 9490.83502826779m²