Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34994 / 103190
↖ ↑ ↗
← S 71.320156°
W 83.886109°		 ← 97.82 m → S 71.320156°
W 83.883362°		 →
↑
97.79 m
↓
↑
97.79 m
↓
S 71.321035°
W 83.886109°		 ← 97.82 m →
9 566 m²		 S 71.321035°
W 83.883362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266986846923828 y=0.787281036376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266986846923828 × 217)
    floor (0.266986846923828 × 131072)
    floor (34994.5)     		tx = 34994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787281036376953 × 217)
    floor (0.787281036376953 × 131072)
    floor (103190.5)     		ty = 103190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34994 / 103190 ti = "17/34994/103190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34994/103190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34994 ÷ 217
    34994 ÷ 131072     		x = 0.266983032226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103190 ÷ 217
    103190 ÷ 131072     		y = 0.787277221679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266983032226562 × 2 - 1) × π
    -0.466033935546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.46408879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787277221679688 × 2 - 1) × π
    -0.574554443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.80501601829359
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46408879} λ = -1.46408879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80501601829359))-π/2
    2×atan(0.164471821998121)-π/2
    2×0.163012395773911-π/2
    0.326024791547822-1.57079632675     		φ = -1.24477154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46408879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.886109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24477154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.320156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34994 KachelY 103190 -1.46408879 -1.24477154 -83.886109 -71.320156
    Oben rechts KachelX + 1 34995 KachelY 103190 -1.46404085 -1.24477154 -83.883362 -71.320156
    Unten links KachelX 34994 KachelY + 1 103191 -1.46408879 -1.24478689 -83.886109 -71.321035
    Unten rechts KachelX + 1 34995 KachelY + 1 103191 -1.46404085 -1.24478689 -83.883362 -71.321035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24477154--1.24478689) × R
    1.53500000001916e-05 × 6371000     		dl = 97.7948500012207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24477154--1.24478689) × R
    1.53500000001916e-05 × 6371000     		dr = 97.7948500012207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46408879--1.46404085) × cos(-1.24477154) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.320279757970516 × 6371000     		do = 97.8216820851017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46408879--1.46404085) × cos(-1.24478689) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.320265216524651 × 6371000     		du = 97.8172407532375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24477154)-sin(-1.24478689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320279757970516-0.320265216524651)×R²
    abs(-1.46404085--1.46408879)×1.45414458656568e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45414458656568e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45414458656568e-05×40589641000000     		ar = 9566.23955706215m²