Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34993 / 47761
↖ ↑ ↗
← S 63.275652°
E 12.222290°		 ← 274.70 m → S 63.275652°
E 12.227783°		 →
↑
274.72 m
↓
↑
274.72 m
↓
S 63.278123°
E 12.222290°		 ← 274.68 m →
75 461 m²		 S 63.278123°
E 12.227783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533958435058594 y=0.728782653808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533958435058594 × 216)
    floor (0.533958435058594 × 65536)
    floor (34993.5)     		tx = 34993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728782653808594 × 216)
    floor (0.728782653808594 × 65536)
    floor (47761.5)     		ty = 47761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34993 / 47761 ti = "16/34993/47761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34993/47761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34993 ÷ 216
    34993 ÷ 65536     		x = 0.533950805664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47761 ÷ 216
    47761 ÷ 65536     		y = 0.728775024414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533950805664062 × 2 - 1) × π
    0.067901611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.21331920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728775024414062 × 2 - 1) × π
    -0.457550048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.437435872007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21331920} λ = 0.21331920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.437435872007))-π/2
    2×atan(0.237536051317282)-π/2
    2×0.233213926746576-π/2
    0.466427853493152-1.57079632675     		φ = -1.10436847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21331920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.222290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10436847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.275652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34993 KachelY 47761 0.21331920 -1.10436847 12.222290 -63.275652
    Oben rechts KachelX + 1 34994 KachelY 47761 0.21341508 -1.10436847 12.227783 -63.275652
    Unten links KachelX 34993 KachelY + 1 47762 0.21331920 -1.10441159 12.222290 -63.278123
    Unten rechts KachelX + 1 34994 KachelY + 1 47762 0.21341508 -1.10441159 12.227783 -63.278123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10436847--1.10441159) × R
    4.31199999999521e-05 × 6371000     		dl = 274.717519999695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10436847--1.10441159) × R
    4.31199999999521e-05 × 6371000     		dr = 274.717519999695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21331920-0.21341508) × cos(-1.10436847) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.44969859309132 × 6371000     		do = 274.699051143809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21331920-0.21341508) × cos(-1.10441159) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.449660078735659 × 6371000     		du = 274.675524592652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10436847)-sin(-1.10441159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44969859309132-0.449660078735659)×R²
    abs(0.21341508-0.21331920)×3.85143556611567e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.85143556611567e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.85143556611567e-05×40589641000000     		ar = 75461.4105103735m²