Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3499 / 2723
↖ ↑ ↗
← N 51.536086°
W 26.235352°		 ← 3 039.54 m → N 51.536086°
W 26.191406°		 →
↑
3 040.43 m
↓
↑
3 040.43 m
↓
N 51.508742°
W 26.235352°		 ← 3 041.37 m →
9 244 304 m²		 N 51.508742°
W 26.191406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42718505859375 y=0.33245849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42718505859375 × 213)
    floor (0.42718505859375 × 8192)
    floor (3499.5)     		tx = 3499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33245849609375 × 213)
    floor (0.33245849609375 × 8192)
    floor (2723.5)     		ty = 2723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3499 / 2723 ti = "13/3499/2723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3499/2723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3499 ÷ 213
    3499 ÷ 8192     		x = 0.4271240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2723 ÷ 213
    2723 ÷ 8192     		y = 0.3323974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4271240234375 × 2 - 1) × π
    -0.145751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45789327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3323974609375 × 2 - 1) × π
    0.335205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.05307781085339
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45789327} λ = -0.45789327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05307781085339))-π/2
    2×atan(2.86645997673617)-π/2
    2×1.23513535205848-π/2
    2.47027070411696-1.57079632675     		φ = 0.89947438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45789327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.235352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89947438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.536086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3499 KachelY 2723 -0.45789327 0.89947438 -26.235352 51.536086
    Oben rechts KachelX + 1 3500 KachelY 2723 -0.45712627 0.89947438 -26.191406 51.536086
    Unten links KachelX 3499 KachelY + 1 2724 -0.45789327 0.89899715 -26.235352 51.508742
    Unten rechts KachelX + 1 3500 KachelY + 1 2724 -0.45712627 0.89899715 -26.191406 51.508742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89947438-0.89899715) × R
    0.000477229999999995 × 6371000     		dl = 3040.43232999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89947438-0.89899715) × R
    0.000477229999999995 × 6371000     		dr = 3040.43232999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45789327--0.45712627) × cos(0.89947438) × R
    0.000767000000000018 × 0.622021614673869 × 6371000     		do = 3039.54407533597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45789327--0.45712627) × cos(0.89899715) × R
    0.000767000000000018 × 0.62239521495124 × 6371000     		du = 3041.36969438655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89947438)-sin(0.89899715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622021614673869-0.62239521495124)×R²
    abs(-0.45712627--0.45789327)×0.000373600277370767×R²
    0.000767000000000018×0.000373600277370767×6371000²
    0.000767000000000018×0.000373600277370767×40589641000000     		ar = 9244303.58615123m²