Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3499 / 1819
↖ ↑ ↗
← N 70.214875°
W 26.235352°		 ← 1 654.07 m → N 70.214875°
W 26.191406°		 →
↑
1 654.68 m
↓
↑
1 654.68 m
↓
N 70.199994°
W 26.235352°		 ← 1 655.26 m →
2 737 936 m²		 N 70.199994°
W 26.191406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42718505859375 y=0.22210693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42718505859375 × 213)
    floor (0.42718505859375 × 8192)
    floor (3499.5)     		tx = 3499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22210693359375 × 213)
    floor (0.22210693359375 × 8192)
    floor (1819.5)     		ty = 1819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3499 / 1819 ti = "13/3499/1819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3499/1819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3499 ÷ 213
    3499 ÷ 8192     		x = 0.4271240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1819 ÷ 213
    1819 ÷ 8192     		y = 0.2220458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4271240234375 × 2 - 1) × π
    -0.145751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45789327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2220458984375 × 2 - 1) × π
    0.555908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.74643712695789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45789327} λ = -0.45789327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74643712695789))-π/2
    2×atan(5.7341362385726)-π/2
    2×1.3981385366767-π/2
    2.7962770733534-1.57079632675     		φ = 1.22548075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45789327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.235352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22548075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.214875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3499 KachelY 1819 -0.45789327 1.22548075 -26.235352 70.214875
    Oben rechts KachelX + 1 3500 KachelY 1819 -0.45712627 1.22548075 -26.191406 70.214875
    Unten links KachelX 3499 KachelY + 1 1820 -0.45789327 1.22522103 -26.235352 70.199994
    Unten rechts KachelX + 1 3500 KachelY + 1 1820 -0.45712627 1.22522103 -26.191406 70.199994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22548075-1.22522103) × R
    0.000259720000000074 × 6371000     		dl = 1654.67612000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22548075-1.22522103) × R
    0.000259720000000074 × 6371000     		dr = 1654.67612000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45789327--0.45712627) × cos(1.22548075) × R
    0.000767000000000018 × 0.338493641977666 × 6371000     		do = 1654.06847566149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45789327--0.45712627) × cos(1.22522103) × R
    0.000767000000000018 × 0.3387380189437 × 6371000     		du = 1655.26263763551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22548075)-sin(1.22522103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338493641977666-0.3387380189437)×R²
    abs(-0.45712627--0.45789327)×0.000244376966034965×R²
    0.000767000000000018×0.000244376966034965×6371000²
    0.000767000000000018×0.000244376966034965×40589641000000     		ar = 2737935.59856638m²