Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3499 / 1817
↖ ↑ ↗
← N 70.244603°
W 26.235352°		 ← 1 651.68 m → N 70.244603°
W 26.191406°		 →
↑
1 652.26 m
↓
↑
1 652.26 m
↓
N 70.229744°
W 26.235352°		 ← 1 652.88 m →
2 729 986 m²		 N 70.229744°
W 26.191406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42718505859375 y=0.22186279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42718505859375 × 213)
    floor (0.42718505859375 × 8192)
    floor (3499.5)     		tx = 3499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22186279296875 × 213)
    floor (0.22186279296875 × 8192)
    floor (1817.5)     		ty = 1817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3499 / 1817 ti = "13/3499/1817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3499/1817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3499 ÷ 213
    3499 ÷ 8192     		x = 0.4271240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1817 ÷ 213
    1817 ÷ 8192     		y = 0.2218017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4271240234375 × 2 - 1) × π
    -0.145751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45789327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2218017578125 × 2 - 1) × π
    0.556396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.74797110774573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45789327} λ = -0.45789327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74797110774573))-π/2
    2×atan(5.74293904333797)-π/2
    2×1.39839797075709-π/2
    2.79679594151419-1.57079632675     		φ = 1.22599961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45789327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.235352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22599961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.244603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3499 KachelY 1817 -0.45789327 1.22599961 -26.235352 70.244603
    Oben rechts KachelX + 1 3500 KachelY 1817 -0.45712627 1.22599961 -26.191406 70.244603
    Unten links KachelX 3499 KachelY + 1 1818 -0.45789327 1.22574027 -26.235352 70.229744
    Unten rechts KachelX + 1 3500 KachelY + 1 1818 -0.45712627 1.22574027 -26.191406 70.229744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22599961-1.22574027) × R
    0.000259339999999941 × 6371000     		dl = 1652.25513999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22599961-1.22574027) × R
    0.000259339999999941 × 6371000     		dr = 1652.25513999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45789327--0.45712627) × cos(1.22599961) × R
    0.000767000000000018 × 0.338005365427029 × 6371000     		do = 1651.68248446504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45789327--0.45712627) × cos(1.22574027) × R
    0.000767000000000018 × 0.338249430390024 × 6371000     		du = 1652.87512181842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22599961)-sin(1.22574027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338005365427029-0.338249430390024)×R²
    abs(-0.45712627--0.45789327)×0.000244064962995227×R²
    0.000767000000000018×0.000244064962995227×6371000²
    0.000767000000000018×0.000244064962995227×40589641000000     		ar = 2729986.16050489m²