Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34987 / 103211
↖ ↑ ↗
← S 71.338620°
W 83.905335°		 ← 97.73 m → S 71.338620°
W 83.902588°		 →
↑
97.73 m
↓
↑
97.73 m
↓
S 71.339499°
W 83.905335°		 ← 97.72 m →
9 551 m²		 S 71.339499°
W 83.902588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266933441162109 y=0.787441253662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266933441162109 × 217)
    floor (0.266933441162109 × 131072)
    floor (34987.5)     		tx = 34987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787441253662109 × 217)
    floor (0.787441253662109 × 131072)
    floor (103211.5)     		ty = 103211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34987 / 103211 ti = "17/34987/103211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34987/103211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34987 ÷ 217
    34987 ÷ 131072     		x = 0.266929626464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103211 ÷ 217
    103211 ÷ 131072     		y = 0.787437438964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266929626464844 × 2 - 1) × π
    -0.466140747070312 × 3.1415926535     		Λ = -1.46442435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787437438964844 × 2 - 1) × π
    -0.574874877929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.80602269318562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46442435} λ = -1.46442435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80602269318562))-π/2
    2×atan(0.16430633565392)-π/2
    2×0.162851263822705-π/2
    0.32570252764541-1.57079632675     		φ = -1.24509380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46442435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.905335°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24509380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.338620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34987 KachelY 103211 -1.46442435 -1.24509380 -83.905335 -71.338620
    Oben rechts KachelX + 1 34988 KachelY 103211 -1.46437641 -1.24509380 -83.902588 -71.338620
    Unten links KachelX 34987 KachelY + 1 103212 -1.46442435 -1.24510914 -83.905335 -71.339499
    Unten rechts KachelX + 1 34988 KachelY + 1 103212 -1.46437641 -1.24510914 -83.902588 -71.339499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24509380--1.24510914) × R
    1.53400000000303e-05 × 6371000     		dl = 97.7311400001932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24509380--1.24510914) × R
    1.53400000000303e-05 × 6371000     		dr = 97.7311400001932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46442435--1.46437641) × cos(-1.24509380) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.3199744570333 × 6371000     		do = 97.7284353204297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46442435--1.46437641) × cos(-1.24510914) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319959923478211 × 6371000     		du = 97.7239963986119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24509380)-sin(-1.24510914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3199744570333-0.319959923478211)×R²
    abs(-1.46437641--1.46442435)×1.4533555088625e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.4533555088625e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.4533555088625e-05×40589641000000     		ar = 9550.89448405597m²