Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34985 / 102907
↖ ↑ ↗
← S 71.069602°
W 83.910828°		 ← 99.09 m → S 71.069602°
W 83.908081°		 →
↑
99.07 m
↓
↑
99.07 m
↓
S 71.070493°
W 83.910828°		 ← 99.08 m →
9 816 m²		 S 71.070493°
W 83.908081°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266918182373047 y=0.785121917724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266918182373047 × 217)
    floor (0.266918182373047 × 131072)
    floor (34985.5)     		tx = 34985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785121917724609 × 217)
    floor (0.785121917724609 × 131072)
    floor (102907.5)     		ty = 102907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34985 / 102907 ti = "17/34985/102907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34985/102907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34985 ÷ 217
    34985 ÷ 131072     		x = 0.266914367675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102907 ÷ 217
    102907 ÷ 131072     		y = 0.785118103027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266914367675781 × 2 - 1) × π
    -0.466171264648438 × 3.1415926535     		Λ = -1.46452022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785118103027344 × 2 - 1) × π
    -0.570236206054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.79144987570112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46452022} λ = -1.46452022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79144987570112))-π/2
    2×atan(0.166718273575993)-π/2
    2×0.165198889122372-π/2
    0.330397778244744-1.57079632675     		φ = -1.24039855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46452022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.910828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24039855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.069602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34985 KachelY 102907 -1.46452022 -1.24039855 -83.910828 -71.069602
    Oben rechts KachelX + 1 34986 KachelY 102907 -1.46447228 -1.24039855 -83.908081 -71.069602
    Unten links KachelX 34985 KachelY + 1 102908 -1.46452022 -1.24041410 -83.910828 -71.070493
    Unten rechts KachelX + 1 34986 KachelY + 1 102908 -1.46447228 -1.24041410 -83.908081 -71.070493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24039855--1.24041410) × R
    1.55499999998643e-05 × 6371000     		dl = 99.0690499991353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24039855--1.24041410) × R
    1.55499999998643e-05 × 6371000     		dr = 99.0690499991353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46452022--1.46447228) × cos(-1.24039855) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324419316440113 × 6371000     		do = 99.0860097939506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46452022--1.46447228) × cos(-1.24041410) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324404607447958 × 6371000     		du = 99.081517289137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24039855)-sin(-1.24041410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324419316440113-0.324404607447958)×R²
    abs(-1.46447228--1.46452022)×1.47089921548882e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47089921548882e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47089921548882e-05×40589641000000     		ar = 9816.13432474702m²