Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 34981 / 102909
↖ ↑ ↗
← S 71.071384°
W 83.921814°		 ← 99.08 m → S 71.071384°
W 83.919067°		 →
↑
99.07 m
↓
↑
99.07 m
↓
S 71.072275°
W 83.921814°		 ← 99.07 m →
9 815 m²		 S 71.072275°
W 83.919067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266887664794922 y=0.785137176513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266887664794922 × 217)
    floor (0.266887664794922 × 131072)
    floor (34981.5)     		tx = 34981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785137176513672 × 217)
    floor (0.785137176513672 × 131072)
    floor (102909.5)     		ty = 102909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34981 / 102909 ti = "17/34981/102909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34981/102909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34981 ÷ 217
    34981 ÷ 131072     		x = 0.266883850097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102909 ÷ 217
    102909 ÷ 131072     		y = 0.785133361816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266883850097656 × 2 - 1) × π
    -0.466232299804688 × 3.1415926535     		Λ = -1.46471197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785133361816406 × 2 - 1) × π
    -0.570266723632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.79154574950036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46471197} λ = -1.46471197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79154574950036))-π/2
    2×atan(0.166702290427897)-π/2
    2×0.165183338171257-π/2
    0.330366676342514-1.57079632675     		φ = -1.24042965
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46471197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.921814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24042965 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.071384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34981 KachelY 102909 -1.46471197 -1.24042965 -83.921814 -71.071384
    Oben rechts KachelX + 1 34982 KachelY 102909 -1.46466403 -1.24042965 -83.919067 -71.071384
    Unten links KachelX 34981 KachelY + 1 102910 -1.46471197 -1.24044520 -83.921814 -71.072275
    Unten rechts KachelX + 1 34982 KachelY + 1 102910 -1.46466403 -1.24044520 -83.919067 -71.072275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24042965--1.24044520) × R
    1.55499999998643e-05 × 6371000     		dl = 99.0690499991353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24042965--1.24044520) × R
    1.55499999998643e-05 × 6371000     		dr = 99.0690499991353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46471197--1.46466403) × cos(-1.24042965) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324389898377361 × 6371000     		do = 99.0770247603652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46471197--1.46466403) × cos(-1.24044520) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324375189228326 × 6371000     		du = 99.0725322076364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24042965)-sin(-1.24044520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324389898377361-0.324375189228326)×R²
    abs(-1.46466403--1.46471197)×1.47091490350082e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47091490350082e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47091490350082e-05×40589641000000     		ar = 9815.24418345359m²