Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34979 / 103227
↖ ↑ ↗
← S 71.352676°
W 83.927307°		 ← 97.66 m → S 71.352676°
W 83.924560°		 →
↑
97.60 m
↓
↑
97.60 m
↓
S 71.353554°
W 83.927307°		 ← 97.65 m →
9 532 m²		 S 71.353554°
W 83.924560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266872406005859 y=0.787563323974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266872406005859 × 217)
    floor (0.266872406005859 × 131072)
    floor (34979.5)     		tx = 34979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787563323974609 × 217)
    floor (0.787563323974609 × 131072)
    floor (103227.5)     		ty = 103227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34979 / 103227 ti = "17/34979/103227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34979/103227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34979 ÷ 217
    34979 ÷ 131072     		x = 0.266868591308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103227 ÷ 217
    103227 ÷ 131072     		y = 0.787559509277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266868591308594 × 2 - 1) × π
    -0.466262817382812 × 3.1415926535     		Λ = -1.46480784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787559509277344 × 2 - 1) × π
    -0.575119018554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.80678968357954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46480784} λ = -1.46480784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80678968357954))-π/2
    2×atan(0.164180362589054)-π/2
    2×0.162728599729563-π/2
    0.325457199459125-1.57079632675     		φ = -1.24533913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46480784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.927307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24533913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.352676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34979 KachelY 103227 -1.46480784 -1.24533913 -83.927307 -71.352676
    Oben rechts KachelX + 1 34980 KachelY 103227 -1.46475990 -1.24533913 -83.924560 -71.352676
    Unten links KachelX 34979 KachelY + 1 103228 -1.46480784 -1.24535445 -83.927307 -71.353554
    Unten rechts KachelX + 1 34980 KachelY + 1 103228 -1.46475990 -1.24535445 -83.924560 -71.353554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24533913--1.24535445) × R
    1.53199999999298e-05 × 6371000     		dl = 97.603719999553m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24533913--1.24535445) × R
    1.53199999999298e-05 × 6371000     		dr = 97.603719999553m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46480784--1.46475990) × cos(-1.24533913) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319742015344322 × 6371000     		do = 97.6574416455669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46480784--1.46475990) × cos(-1.24535445) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319727499535709 × 6371000     		du = 97.6530081439796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24533913)-sin(-1.24535445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319742015344322-0.319727499535709)×R²
    abs(-1.46475990--1.46480784)×1.45158086127251e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45158086127251e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45158086127251e-05×40589641000000     		ar = 9531.51322738583m²