Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34969 / 103172
↖ ↑ ↗
← S 71.304315°
W 83.954773°		 ← 97.90 m → S 71.304315°
W 83.952026°		 →
↑
97.92 m
↓
↑
97.92 m
↓
S 71.305195°
W 83.954773°		 ← 97.90 m →
9 587 m²		 S 71.305195°
W 83.952026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266796112060547 y=0.787143707275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266796112060547 × 217)
    floor (0.266796112060547 × 131072)
    floor (34969.5)     		tx = 34969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787143707275391 × 217)
    floor (0.787143707275391 × 131072)
    floor (103172.5)     		ty = 103172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34969 / 103172 ti = "17/34969/103172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34969/103172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34969 ÷ 217
    34969 ÷ 131072     		x = 0.266792297363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103172 ÷ 217
    103172 ÷ 131072     		y = 0.787139892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266792297363281 × 2 - 1) × π
    -0.466415405273438 × 3.1415926535     		Λ = -1.46528721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787139892578125 × 2 - 1) × π
    -0.57427978515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.80415315410043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46528721} λ = -1.46528721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80415315410043))-π/2
    2×atan(0.164613800089204)-π/2
    2×0.163150631231469-π/2
    0.326301262462938-1.57079632675     		φ = -1.24449506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46528721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.954773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24449506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.304315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34969 KachelY 103172 -1.46528721 -1.24449506 -83.954773 -71.304315
    Oben rechts KachelX + 1 34970 KachelY 103172 -1.46523927 -1.24449506 -83.952026 -71.304315
    Unten links KachelX 34969 KachelY + 1 103173 -1.46528721 -1.24451043 -83.954773 -71.305195
    Unten rechts KachelX + 1 34970 KachelY + 1 103173 -1.46523927 -1.24451043 -83.952026 -71.305195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24449506--1.24451043) × R
    1.537000000007e-05 × 6371000     		dl = 97.9222700004463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24449506--1.24451043) × R
    1.537000000007e-05 × 6371000     		dr = 97.9222700004463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46528721--1.46523927) × cos(-1.24449506) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32054166159044 × 6371000     		do = 97.9016741920256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46528721--1.46523927) × cos(-1.24451043) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32052710255957 × 6371000     		du = 97.8972274892483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24449506)-sin(-1.24451043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32054166159044-0.32052710255957)×R²
    abs(-1.46523927--1.46528721)×1.45590308704424e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45590308704424e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45590308704424e-05×40589641000000     		ar = 9586.53645835151m²