Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34967 / 103171
↖ ↑ ↗
← S 71.303435°
W 83.960266°		 ← 97.89 m → S 71.303435°
W 83.957520°		 →
↑
97.86 m
↓
↑
97.86 m
↓
S 71.304315°
W 83.960266°		 ← 97.88 m →
9 579 m²		 S 71.304315°
W 83.957520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266780853271484 y=0.787136077880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266780853271484 × 217)
    floor (0.266780853271484 × 131072)
    floor (34967.5)     		tx = 34967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787136077880859 × 217)
    floor (0.787136077880859 × 131072)
    floor (103171.5)     		ty = 103171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34967 / 103171 ti = "17/34967/103171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34967/103171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34967 ÷ 217
    34967 ÷ 131072     		x = 0.266777038574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103171 ÷ 217
    103171 ÷ 131072     		y = 0.787132263183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266777038574219 × 2 - 1) × π
    -0.466445922851562 × 3.1415926535     		Λ = -1.46538308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787132263183594 × 2 - 1) × π
    -0.574264526367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.80410521720081
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46538308} λ = -1.46538308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80410521720081))-π/2
    2×atan(0.164621691353555)-π/2
    2×0.163158314292531-π/2
    0.326316628585062-1.57079632675     		φ = -1.24447970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46538308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.960266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24447970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.303435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34967 KachelY 103171 -1.46538308 -1.24447970 -83.960266 -71.303435
    Oben rechts KachelX + 1 34968 KachelY 103171 -1.46533515 -1.24447970 -83.957520 -71.303435
    Unten links KachelX 34967 KachelY + 1 103172 -1.46538308 -1.24449506 -83.960266 -71.304315
    Unten rechts KachelX + 1 34968 KachelY + 1 103172 -1.46533515 -1.24449506 -83.957520 -71.304315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24447970--1.24449506) × R
    1.53599999999088e-05 × 6371000     		dl = 97.8585599994188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24447970--1.24449506) × R
    1.53599999999088e-05 × 6371000     		dr = 97.8585599994188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46538308--1.46533515) × cos(-1.24447970) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.320556211073292 × 6371000     		do = 97.8856953425088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46538308--1.46533515) × cos(-1.24449506) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.32054166159044 × 6371000     		du = 97.8812524828898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24447970)-sin(-1.24449506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320556211073292-0.32054166159044)×R²
    abs(-1.46533515--1.46538308)×1.45494828515669e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.45494828515669e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.45494828515669e-05×40589641000000     		ar = 9578.73580487204m²