Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34964 / 49292
↖ ↑ ↗
← S 66.817872°
E 12.062988°		 ← 240.46 m → S 66.817872°
E 12.068482°		 →
↑
240.44 m
↓
↑
240.44 m
↓
S 66.820035°
E 12.062988°		 ← 240.44 m →
57 815 m²		 S 66.820035°
E 12.068482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533515930175781 y=0.752143859863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533515930175781 × 216)
    floor (0.533515930175781 × 65536)
    floor (34964.5)     		tx = 34964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752143859863281 × 216)
    floor (0.752143859863281 × 65536)
    floor (49292.5)     		ty = 49292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34964 / 49292 ti = "16/34964/49292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34964/49292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34964 ÷ 216
    34964 ÷ 65536     		x = 0.53350830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49292 ÷ 216
    49292 ÷ 65536     		y = 0.75213623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53350830078125 × 2 - 1) × π
    0.0670166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.21053886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75213623046875 × 2 - 1) × π
    -0.5042724609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58421865864362
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21053886} λ = 0.21053886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58421865864362))-π/2
    2×atan(0.205107989879487)-π/2
    2×0.202302229314803-π/2
    0.404604458629605-1.57079632675     		φ = -1.16619187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21053886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.062988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16619187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.817872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34964 KachelY 49292 0.21053886 -1.16619187 12.062988 -66.817872
    Oben rechts KachelX + 1 34965 KachelY 49292 0.21063474 -1.16619187 12.068482 -66.817872
    Unten links KachelX 34964 KachelY + 1 49293 0.21053886 -1.16622961 12.062988 -66.820035
    Unten rechts KachelX + 1 34965 KachelY + 1 49293 0.21063474 -1.16622961 12.068482 -66.820035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16619187--1.16622961) × R
    3.77400000000083e-05 × 6371000     		dl = 240.441540000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16619187--1.16622961) × R
    3.77400000000083e-05 × 6371000     		dr = 240.441540000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21053886-0.21063474) × cos(-1.16619187) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.393655184849278 × 6371000     		do = 240.464852274836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21053886-0.21063474) × cos(-1.16622961) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.393620491765354 × 6371000     		du = 240.443659953176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16619187)-sin(-1.16622961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393655184849278-0.393620491765354)×R²
    abs(0.21063474-0.21053886)×3.46930839236759e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.46930839236759e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.46930839236759e-05×40589641000000     		ar = 57815.1916467338m²