Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34957 / 103195
↖ ↑ ↗
← S 71.324553°
W 83.987732°		 ← 97.78 m → S 71.324553°
W 83.984986°		 →
↑
97.79 m
↓
↑
97.79 m
↓
S 71.325433°
W 83.987732°		 ← 97.77 m →
9 562 m²		 S 71.325433°
W 83.984986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266704559326172 y=0.787319183349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266704559326172 × 217)
    floor (0.266704559326172 × 131072)
    floor (34957.5)     		tx = 34957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787319183349609 × 217)
    floor (0.787319183349609 × 131072)
    floor (103195.5)     		ty = 103195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34957 / 103195 ti = "17/34957/103195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34957/103195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34957 ÷ 217
    34957 ÷ 131072     		x = 0.266700744628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103195 ÷ 217
    103195 ÷ 131072     		y = 0.787315368652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266700744628906 × 2 - 1) × π
    -0.466598510742188 × 3.1415926535     		Λ = -1.46586245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787315368652344 × 2 - 1) × π
    -0.574630737304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.80525570279169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46586245} λ = -1.46586245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80525570279169))-π/2
    2×atan(0.16443240537598)-π/2
    2×0.16297401708416-π/2
    0.325948034168321-1.57079632675     		φ = -1.24484829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46586245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.987732°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24484829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.324553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34957 KachelY 103195 -1.46586245 -1.24484829 -83.987732 -71.324553
    Oben rechts KachelX + 1 34958 KachelY 103195 -1.46581452 -1.24484829 -83.984986 -71.324553
    Unten links KachelX 34957 KachelY + 1 103196 -1.46586245 -1.24486364 -83.987732 -71.325433
    Unten rechts KachelX + 1 34958 KachelY + 1 103196 -1.46581452 -1.24486364 -83.984986 -71.325433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24484829--1.24486364) × R
    1.53499999999696e-05 × 6371000     		dl = 97.794849999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24484829--1.24486364) × R
    1.53499999999696e-05 × 6371000     		dr = 97.794849999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46586245--1.46581452) × cos(-1.24484829) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.320207049986606 × 6371000     		do = 97.7790748042814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46586245--1.46581452) × cos(-1.24486364) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.320192508163467 × 6371000     		du = 97.7746342836476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24484829)-sin(-1.24486364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320207049986606-0.320192508163467)×R²
    abs(-1.46581452--1.46586245)×1.45418231396466e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.45418231396466e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.45418231396466e-05×40589641000000     		ar = 9562.07282385758m²