Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34956 / 48448
↖ ↑ ↗
← S 64.923542°
E 12.019043°		 ← 258.90 m → S 64.923542°
E 12.024536°		 →
↑
258.85 m
↓
↑
258.85 m
↓
S 64.925870°
E 12.019043°		 ← 258.87 m →
67 013 m²		 S 64.925870°
E 12.024536°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533393859863281 y=0.739265441894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533393859863281 × 216)
    floor (0.533393859863281 × 65536)
    floor (34956.5)     		tx = 34956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739265441894531 × 216)
    floor (0.739265441894531 × 65536)
    floor (48448.5)     		ty = 48448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34956 / 48448 ti = "16/34956/48448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34956/48448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34956 ÷ 216
    34956 ÷ 65536     		x = 0.53338623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48448 ÷ 216
    48448 ÷ 65536     		y = 0.7392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53338623046875 × 2 - 1) × π
    0.0667724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.20977187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7392578125 × 2 - 1) × π
    -0.478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50330117208496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20977187} λ = 0.20977187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50330117208496))-π/2
    2×atan(0.222394783562592)-π/2
    2×0.218833380670323-π/2
    0.437666761340645-1.57079632675     		φ = -1.13312957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20977187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.019043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13312957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.923542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34956 KachelY 48448 0.20977187 -1.13312957 12.019043 -64.923542
    Oben rechts KachelX + 1 34957 KachelY 48448 0.20986775 -1.13312957 12.024536 -64.923542
    Unten links KachelX 34956 KachelY + 1 48449 0.20977187 -1.13317020 12.019043 -64.925870
    Unten rechts KachelX + 1 34957 KachelY + 1 48449 0.20986775 -1.13317020 12.024536 -64.925870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13312957--1.13317020) × R
    4.0629999999986e-05 × 6371000     		dl = 258.853729999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13312957--1.13317020) × R
    4.0629999999986e-05 × 6371000     		dr = 258.853729999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20977187-0.20986775) × cos(-1.13312957) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.423827301899101 × 6371000     		do = 258.895534629453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20977187-0.20986775) × cos(-1.13317020) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.423790501210385 × 6371000     		du = 258.873054874286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13312957)-sin(-1.13317020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423827301899101-0.423790501210385)×R²
    abs(0.20986775-0.20977187)×3.68006887163097e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.68006887163097e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.68006887163097e-05×40589641000000     		ar = 67013.165344244m²