Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34955 / 48421
↖ ↑ ↗
← S 64.860608°
E 12.013550°		 ← 259.48 m → S 64.860608°
E 12.019043°		 →
↑
259.49 m
↓
↑
259.49 m
↓
S 64.862941°
E 12.013550°		 ← 259.45 m →
67 329 m²		 S 64.862941°
E 12.019043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533378601074219 y=0.738853454589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533378601074219 × 216)
    floor (0.533378601074219 × 65536)
    floor (34955.5)     		tx = 34955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738853454589844 × 216)
    floor (0.738853454589844 × 65536)
    floor (48421.5)     		ty = 48421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34955 / 48421 ti = "16/34955/48421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34955/48421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34955 ÷ 216
    34955 ÷ 65536     		x = 0.533370971679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48421 ÷ 216
    48421 ÷ 65536     		y = 0.738845825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533370971679688 × 2 - 1) × π
    0.066741943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.20967600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738845825195312 × 2 - 1) × π
    -0.477691650390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50071257950548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20967600} λ = 0.20967600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50071257950548))-π/2
    2×atan(0.222971218805151)-π/2
    2×0.219382582247077-π/2
    0.438765164494155-1.57079632675     		φ = -1.13203116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20967600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.013550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13203116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.860608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34955 KachelY 48421 0.20967600 -1.13203116 12.013550 -64.860608
    Oben rechts KachelX + 1 34956 KachelY 48421 0.20977187 -1.13203116 12.019043 -64.860608
    Unten links KachelX 34955 KachelY + 1 48422 0.20967600 -1.13207189 12.013550 -64.862941
    Unten rechts KachelX + 1 34956 KachelY + 1 48422 0.20977187 -1.13207189 12.019043 -64.862941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13203116--1.13207189) × R
    4.07300000000443e-05 × 6371000     		dl = 259.490830000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13203116--1.13207189) × R
    4.07300000000443e-05 × 6371000     		dr = 259.490830000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20967600-0.20977187) × cos(-1.13203116) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.424821923214823 × 6371000     		do = 259.476035127487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20967600-0.20977187) × cos(-1.13207189) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.424785050932793 × 6371000     		du = 259.453513988572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13203116)-sin(-1.13207189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424821923214823-0.424785050932793)×R²
    abs(0.20977187-0.20967600)×3.68722820294209e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.68722820294209e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.68722820294209e-05×40589641000000     		ar = 67328.7297155912m²