Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34953 / 102935
↖ ↑ ↗
← S 71.094535°
W 83.998718°		 ← 98.96 m → S 71.094535°
W 83.995971°		 →
↑
98.94 m
↓
↑
98.94 m
↓
S 71.095425°
W 83.998718°		 ← 98.96 m →
9 791 m²		 S 71.095425°
W 83.995971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266674041748047 y=0.785335540771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266674041748047 × 217)
    floor (0.266674041748047 × 131072)
    floor (34953.5)     		tx = 34953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785335540771484 × 217)
    floor (0.785335540771484 × 131072)
    floor (102935.5)     		ty = 102935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34953 / 102935 ti = "17/34953/102935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34953/102935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34953 ÷ 217
    34953 ÷ 131072     		x = 0.266670227050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102935 ÷ 217
    102935 ÷ 131072     		y = 0.785331726074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266670227050781 × 2 - 1) × π
    -0.466659545898438 × 3.1415926535     		Λ = -1.46605420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785331726074219 × 2 - 1) × π
    -0.570663452148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.79279210889048
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46605420} λ = -1.46605420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79279210889048))-π/2
    2×atan(0.166494648887739)-π/2
    2×0.164981304097581-π/2
    0.329962608195162-1.57079632675     		φ = -1.24083372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46605420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.998718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24083372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.094535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34953 KachelY 102935 -1.46605420 -1.24083372 -83.998718 -71.094535
    Oben rechts KachelX + 1 34954 KachelY 102935 -1.46600626 -1.24083372 -83.995971 -71.094535
    Unten links KachelX 34953 KachelY + 1 102936 -1.46605420 -1.24084925 -83.998718 -71.095425
    Unten rechts KachelX + 1 34954 KachelY + 1 102936 -1.46600626 -1.24084925 -83.995971 -71.095425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24083372--1.24084925) × R
    1.55299999999858e-05 × 6371000     		dl = 98.9416299999097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24083372--1.24084925) × R
    1.55299999999858e-05 × 6371000     		dr = 98.9416299999097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46605420--1.46600626) × cos(-1.24083372) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.324007652612942 × 6371000     		do = 98.9602770653641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46605420--1.46600626) × cos(-1.24084925) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.323992960348108 × 6371000     		du = 98.9557896695051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24083372)-sin(-1.24084925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324007652612942-0.323992960348108)×R²
    abs(-1.46600626--1.46605420)×1.46922648334713e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.46922648334713e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.46922648334713e-05×40589641000000     		ar = 9791.06912315973m²