Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34951 / 48430
↖ ↑ ↗
← S 64.881602°
E 11.991577°		 ← 259.30 m → S 64.881602°
E 11.997070°		 →
↑
259.30 m
↓
↑
259.30 m
↓
S 64.883934°
E 11.991577°		 ← 259.28 m →
67 234 m²		 S 64.883934°
E 11.997070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533317565917969 y=0.738990783691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533317565917969 × 216)
    floor (0.533317565917969 × 65536)
    floor (34951.5)     		tx = 34951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738990783691406 × 216)
    floor (0.738990783691406 × 65536)
    floor (48430.5)     		ty = 48430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34951 / 48430 ti = "16/34951/48430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34951/48430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34951 ÷ 216
    34951 ÷ 65536     		x = 0.533309936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48430 ÷ 216
    48430 ÷ 65536     		y = 0.738983154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533309936523438 × 2 - 1) × π
    0.066619873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.20929250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738983154296875 × 2 - 1) × π
    -0.47796630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50157544369864
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20929250} λ = 0.20929250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50157544369864))-π/2
    2×atan(0.222778907905365)-π/2
    2×0.219199372003993-π/2
    0.438398744007986-1.57079632675     		φ = -1.13239758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20929250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.991577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13239758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.881602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34951 KachelY 48430 0.20929250 -1.13239758 11.991577 -64.881602
    Oben rechts KachelX + 1 34952 KachelY 48430 0.20938838 -1.13239758 11.997070 -64.881602
    Unten links KachelX 34951 KachelY + 1 48431 0.20929250 -1.13243828 11.991577 -64.883934
    Unten rechts KachelX + 1 34952 KachelY + 1 48431 0.20938838 -1.13243828 11.997070 -64.883934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13239758--1.13243828) × R
    4.07000000000046e-05 × 6371000     		dl = 259.299700000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13239758--1.13243828) × R
    4.07000000000046e-05 × 6371000     		dr = 259.299700000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20929250-0.20938838) × cos(-1.13239758) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.424490183127746 × 6371000     		do = 259.30045660911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20929250-0.20938838) × cos(-1.13243828) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.424453331671798 × 6371000     		du = 259.277945842704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13239758)-sin(-1.13243828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424490183127746-0.424453331671798)×R²
    abs(0.20938838-0.20929250)×3.68514559483391e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.68514559483391e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.68514559483391e-05×40589641000000     		ar = 67233.6121005235m²