Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3495 / 5446
↖ ↑ ↗
← S 50.903033°
W 26.411133°		 ← 3 081.59 m → S 50.903033°
W 26.367188°		 →
↑
3 080.70 m
↓
↑
3 080.70 m
↓
S 50.930738°
W 26.411133°		 ← 3 079.76 m →
9 490 628 m²		 S 50.930738°
W 26.367188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42669677734375 y=0.66485595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42669677734375 × 213)
    floor (0.42669677734375 × 8192)
    floor (3495.5)     		tx = 3495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.66485595703125 × 213)
    floor (0.66485595703125 × 8192)
    floor (5446.5)     		ty = 5446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3495 / 5446 ti = "13/3495/5446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3495/5446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3495 ÷ 213
    3495 ÷ 8192     		x = 0.4266357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5446 ÷ 213
    5446 ÷ 8192     		y = 0.664794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4266357421875 × 2 - 1) × π
    -0.146728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46096123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664794921875 × 2 - 1) × π
    -0.32958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03543703179321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46096123} λ = -0.46096123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03543703179321))-π/2
    2×atan(0.355071169621307)-π/2
    2×0.341185402329938-π/2
    0.682370804659875-1.57079632675     		φ = -0.88842552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46096123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.411133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88842552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.903033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3495 KachelY 5446 -0.46096123 -0.88842552 -26.411133 -50.903033
    Oben rechts KachelX + 1 3496 KachelY 5446 -0.46019424 -0.88842552 -26.367188 -50.903033
    Unten links KachelX 3495 KachelY + 1 5447 -0.46096123 -0.88890907 -26.411133 -50.930738
    Unten rechts KachelX + 1 3496 KachelY + 1 5447 -0.46019424 -0.88890907 -26.367188 -50.930738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88842552--0.88890907) × R
    0.000483549999999999 × 6371000     		dl = 3080.69705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88842552--0.88890907) × R
    0.000483549999999999 × 6371000     		dr = 3080.69705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46096123--0.46019424) × cos(-0.88842552) × R
    0.000766990000000023 × 0.630634729841203 × 6371000     		do = 3081.59237581009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46096123--0.46019424) × cos(-0.88890907) × R
    0.000766990000000023 × 0.630259382746591 × 6371000     		du = 3079.75824475085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88842552)-sin(-0.88890907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630634729841203-0.630259382746591)×R²
    abs(-0.46019424--0.46096123)×0.000375347094612621×R²
    0.000766990000000023×0.000375347094612621×6371000²
    0.000766990000000023×0.000375347094612621×40589641000000     		ar = 9490627.52531519m²