Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3495 / 5445
↖ ↑ ↗
← S 50.875311°
W 26.411133°		 ← 3 083.43 m → S 50.875311°
W 26.367188°		 →
↑
3 082.48 m
↓
↑
3 082.48 m
↓
S 50.903033°
W 26.411133°		 ← 3 081.59 m →
9 501 777 m²		 S 50.903033°
W 26.367188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42669677734375 y=0.66473388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42669677734375 × 213)
    floor (0.42669677734375 × 8192)
    floor (3495.5)     		tx = 3495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.66473388671875 × 213)
    floor (0.66473388671875 × 8192)
    floor (5445.5)     		ty = 5445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3495 / 5445 ti = "13/3495/5445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3495/5445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3495 ÷ 213
    3495 ÷ 8192     		x = 0.4266357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5445 ÷ 213
    5445 ÷ 8192     		y = 0.6646728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4266357421875 × 2 - 1) × π
    -0.146728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46096123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6646728515625 × 2 - 1) × π
    -0.329345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03467004139929
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46096123} λ = -0.46096123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03467004139929))-π/2
    2×atan(0.355343610263887)-π/2
    2×0.341427319702799-π/2
    0.682854639405597-1.57079632675     		φ = -0.88794169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46096123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.411133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88794169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.875311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3495 KachelY 5445 -0.46096123 -0.88794169 -26.411133 -50.875311
    Oben rechts KachelX + 1 3496 KachelY 5445 -0.46019424 -0.88794169 -26.367188 -50.875311
    Unten links KachelX 3495 KachelY + 1 5446 -0.46096123 -0.88842552 -26.411133 -50.903033
    Unten rechts KachelX + 1 3496 KachelY + 1 5446 -0.46019424 -0.88842552 -26.367188 -50.903033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88794169--0.88842552) × R
    0.000483829999999963 × 6371000     		dl = 3082.48092999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88794169--0.88842552) × R
    0.000483829999999963 × 6371000     		dr = 3082.48092999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46096123--0.46019424) × cos(-0.88794169) × R
    0.000766990000000023 × 0.631010146697332 × 6371000     		do = 3083.42684775852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46096123--0.46019424) × cos(-0.88842552) × R
    0.000766990000000023 × 0.630634729841203 × 6371000     		du = 3081.59237581009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88794169)-sin(-0.88842552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631010146697332-0.630634729841203)×R²
    abs(-0.46019424--0.46096123)×0.000375416856129296×R²
    0.000766990000000023×0.000375416856129296×6371000²
    0.000766990000000023×0.000375416856129296×40589641000000     		ar = 9501777.28022121m²