Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 34942 / 103142
↖ ↑ ↗
← S 71.277885°
W 84.028931°		 ← 98.04 m → S 71.277885°
W 84.026184°		 →
↑
97.99 m
↓
↑
97.99 m
↓
S 71.278766°
W 84.028931°		 ← 98.03 m →
9 606 m²		 S 71.278766°
W 84.026184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266590118408203 y=0.786914825439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266590118408203 × 217)
    floor (0.266590118408203 × 131072)
    floor (34942.5)     		tx = 34942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786914825439453 × 217)
    floor (0.786914825439453 × 131072)
    floor (103142.5)     		ty = 103142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34942 / 103142 ti = "17/34942/103142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34942/103142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34942 ÷ 217
    34942 ÷ 131072     		x = 0.266586303710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103142 ÷ 217
    103142 ÷ 131072     		y = 0.786911010742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266586303710938 × 2 - 1) × π
    -0.466827392578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.46658151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786911010742188 × 2 - 1) × π
    -0.573822021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.80271504711183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46658151} λ = -1.46658151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80271504711183))-π/2
    2×atan(0.164850702650318)-π/2
    2×0.163381274880724-π/2
    0.326762549761449-1.57079632675     		φ = -1.24403378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46658151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.028931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24403378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.277885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34942 KachelY 103142 -1.46658151 -1.24403378 -84.028931 -71.277885
    Oben rechts KachelX + 1 34943 KachelY 103142 -1.46653357 -1.24403378 -84.026184 -71.277885
    Unten links KachelX 34942 KachelY + 1 103143 -1.46658151 -1.24404916 -84.028931 -71.278766
    Unten rechts KachelX + 1 34943 KachelY + 1 103143 -1.46653357 -1.24404916 -84.026184 -71.278766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24403378--1.24404916) × R
    1.53800000000093e-05 × 6371000     		dl = 97.9859800000591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24403378--1.24404916) × R
    1.53800000000093e-05 × 6371000     		dr = 97.9859800000591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46658151--1.46653357) × cos(-1.24403378) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.320978567765107 × 6371000     		do = 98.0351165837336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46658151--1.46653357) × cos(-1.24404916) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32096400153742 × 6371000     		du = 98.0306676828633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24403378)-sin(-1.24404916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320978567765107-0.32096400153742)×R²
    abs(-1.46653357--1.46658151)×1.45662276871961e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45662276871961e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45662276871961e-05×40589641000000     		ar = 9605.84900821684m²