Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3494 / 2406
↖ ↑ ↗
← N 77.589407°
W103.227539°		 ← 525.10 m → N 77.589407°
W103.205566°		 →
↑
525.16 m
↓
↑
525.16 m
↓
N 77.584684°
W103.227539°		 ← 525.30 m →
275 814 m²		 N 77.584684°
W103.205566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.213287353515625 y=0.146881103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.213287353515625 × 214)
    floor (0.213287353515625 × 16384)
    floor (3494.5)     		tx = 3494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146881103515625 × 214)
    floor (0.146881103515625 × 16384)
    floor (2406.5)     		ty = 2406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3494 / 2406 ti = "14/3494/2406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3494/2406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3494 ÷ 214
    3494 ÷ 16384     		x = 0.2132568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2406 ÷ 214
    2406 ÷ 16384     		y = 0.1468505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2132568359375 × 2 - 1) × π
    -0.573486328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.80166044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1468505859375 × 2 - 1) × π
    0.706298828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21890320961316
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80166044} λ = -1.80166044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21890320961316))-π/2
    2×atan(9.19723788985141)-π/2
    2×1.46249347379088-π/2
    2.92498694758177-1.57079632675     		φ = 1.35419062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80166044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.227539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35419062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.589407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3494 KachelY 2406 -1.80166044 1.35419062 -103.227539 77.589407
    Oben rechts KachelX + 1 3495 KachelY 2406 -1.80127694 1.35419062 -103.205566 77.589407
    Unten links KachelX 3494 KachelY + 1 2407 -1.80166044 1.35410819 -103.227539 77.584684
    Unten rechts KachelX + 1 3495 KachelY + 1 2407 -1.80127694 1.35410819 -103.205566 77.584684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35419062-1.35410819) × R
    8.24299999999667e-05 × 6371000     		dl = 525.161529999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35419062-1.35410819) × R
    8.24299999999667e-05 × 6371000     		dr = 525.161529999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80166044--1.80127694) × cos(1.35419062) × R
    0.000383500000000092 × 0.214915890225131 × 6371000     		do = 525.09937389555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80166044--1.80127694) × cos(1.35410819) × R
    0.000383500000000092 × 0.214996393316937 × 6371000     		du = 525.296065368943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35419062)-sin(1.35410819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214915890225131-0.214996393316937)×R²
    abs(-1.80127694--1.80166044)×8.0503091805989e-05×R²
    0.000383500000000092×8.0503091805989e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.0503091805989e-05×40589641000000     		ar = 275813.638150339m²