Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34937 / 10361
↖ ↑ ↗
← N 81.876359°
W 84.042663°		 ← 43.16 m → N 81.876359°
W 84.039917°		 →
↑
43.20 m
↓
↑
43.20 m
↓
N 81.875970°
W 84.042663°		 ← 43.16 m →
1 864 m²		 N 81.875970°
W 84.039917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266551971435547 y=0.0790519714355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266551971435547 × 217)
    floor (0.266551971435547 × 131072)
    floor (34937.5)     		tx = 34937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0790519714355469 × 217)
    floor (0.0790519714355469 × 131072)
    floor (10361.5)     		ty = 10361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34937 / 10361 ti = "17/34937/10361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34937/10361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34937 ÷ 217
    34937 ÷ 131072     		x = 0.266548156738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10361 ÷ 217
    10361 ÷ 131072     		y = 0.0790481567382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266548156738281 × 2 - 1) × π
    -0.466903686523438 × 3.1415926535     		Λ = -1.46682119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0790481567382812 × 2 - 1) × π
    0.841903686523438 × 3.1415926535     		Φ = 2.6449184365366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46682119} λ = -1.46682119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.6449184365366))-π/2
    2×atan(14.0822964354113)-π/2
    2×1.49990418140251-π/2
    2.99980836280501-1.57079632675     		φ = 1.42901204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46682119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.042663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42901204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.876359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34937 KachelY 10361 -1.46682119 1.42901204 -84.042663 81.876359
    Oben rechts KachelX + 1 34938 KachelY 10361 -1.46677325 1.42901204 -84.039917 81.876359
    Unten links KachelX 34937 KachelY + 1 10362 -1.46682119 1.42900526 -84.042663 81.875970
    Unten rechts KachelX + 1 34938 KachelY + 1 10362 -1.46677325 1.42900526 -84.039917 81.875970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42901204-1.42900526) × R
    6.779999999873e-06 × 6371000     		dl = 43.1953799991909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42901204-1.42900526) × R
    6.779999999873e-06 × 6371000     		dr = 43.1953799991909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46682119--1.46677325) × cos(1.42901204) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.141309720902663 × 6371000     		do = 43.1596260760609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46682119--1.46677325) × cos(1.42900526) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.141316432865065 × 6371000     		du = 43.1616760821444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42901204)-sin(1.42900526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.141309720902663-0.141316432865065)×R²
    abs(-1.46677325--1.46682119)×6.71196240217831e-06×R²
    4.79400000001906e-05×6.71196240217831e-06×6371000²
    4.79400000001906e-05×6.71196240217831e-06×40589641000000     		ar = 1864.34072428397m²