Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34937 / 103145
↖ ↑ ↗
← S 71.280529°
W 84.042663°		 ← 98.02 m → S 71.280529°
W 84.039917°		 →
↑
98.05 m
↓
↑
98.05 m
↓
S 71.281411°
W 84.042663°		 ← 98.02 m →
9 611 m²		 S 71.281411°
W 84.039917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266551971435547 y=0.786937713623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266551971435547 × 217)
    floor (0.266551971435547 × 131072)
    floor (34937.5)     		tx = 34937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786937713623047 × 217)
    floor (0.786937713623047 × 131072)
    floor (103145.5)     		ty = 103145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34937 / 103145 ti = "17/34937/103145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34937/103145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34937 ÷ 217
    34937 ÷ 131072     		x = 0.266548156738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103145 ÷ 217
    103145 ÷ 131072     		y = 0.786933898925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266548156738281 × 2 - 1) × π
    -0.466903686523438 × 3.1415926535     		Λ = -1.46682119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786933898925781 × 2 - 1) × π
    -0.573867797851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.80285885781069
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46682119} λ = -1.46682119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80285885781069))-π/2
    2×atan(0.164826997060162)-π/2
    2×0.163358196376151-π/2
    0.326716392752302-1.57079632675     		φ = -1.24407993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46682119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.042663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24407993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.280529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34937 KachelY 103145 -1.46682119 -1.24407993 -84.042663 -71.280529
    Oben rechts KachelX + 1 34938 KachelY 103145 -1.46677325 -1.24407993 -84.039917 -71.280529
    Unten links KachelX 34937 KachelY + 1 103146 -1.46682119 -1.24409532 -84.042663 -71.281411
    Unten rechts KachelX + 1 34938 KachelY + 1 103146 -1.46677325 -1.24409532 -84.039917 -71.281411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24407993--1.24409532) × R
    1.53899999999485e-05 × 6371000     		dl = 98.0496899996719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24407993--1.24409532) × R
    1.53899999999485e-05 × 6371000     		dr = 98.0496899996719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46682119--1.46677325) × cos(-1.24407993) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.320934859383269 × 6371000     		do = 98.0217669193208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46682119--1.46677325) × cos(-1.24409532) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.320920283456715 × 6371000     		du = 98.0173150561665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24407993)-sin(-1.24409532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320934859383269-0.320920283456715)×R²
    abs(-1.46677325--1.46682119)×1.4575926554905e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.4575926554905e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.4575926554905e-05×40589641000000     		ar = 9610.78560782801m²