Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34935 / 48456
↖ ↑ ↗
← S 64.942160°
E 11.903686°		 ← 258.72 m → S 64.942160°
E 11.909180°		 →
↑
258.73 m
↓
↑
258.73 m
↓
S 64.944487°
E 11.903686°		 ← 258.69 m →
66 934 m²		 S 64.944487°
E 11.909180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533073425292969 y=0.739387512207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533073425292969 × 216)
    floor (0.533073425292969 × 65536)
    floor (34935.5)     		tx = 34935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739387512207031 × 216)
    floor (0.739387512207031 × 65536)
    floor (48456.5)     		ty = 48456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34935 / 48456 ti = "16/34935/48456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34935/48456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34935 ÷ 216
    34935 ÷ 65536     		x = 0.533065795898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48456 ÷ 216
    48456 ÷ 65536     		y = 0.7393798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533065795898438 × 2 - 1) × π
    0.066131591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.20775852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7393798828125 × 2 - 1) × π
    -0.478759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50406816247888
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20775852} λ = 0.20775852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50406816247888))-π/2
    2×atan(0.222224274297784)-π/2
    2×0.218670901380392-π/2
    0.437341802760785-1.57079632675     		φ = -1.13345452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20775852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.903686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13345452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.942160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34935 KachelY 48456 0.20775852 -1.13345452 11.903686 -64.942160
    Oben rechts KachelX + 1 34936 KachelY 48456 0.20785440 -1.13345452 11.909180 -64.942160
    Unten links KachelX 34935 KachelY + 1 48457 0.20775852 -1.13349513 11.903686 -64.944487
    Unten rechts KachelX + 1 34936 KachelY + 1 48457 0.20785440 -1.13349513 11.909180 -64.944487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13345452--1.13349513) × R
    4.06100000001075e-05 × 6371000     		dl = 258.726310000685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13345452--1.13349513) × R
    4.06100000001075e-05 × 6371000     		dr = 258.726310000685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20775852-0.20785440) × cos(-1.13345452) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.42353295833346 × 6371000     		do = 258.715734426752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20775852-0.20785440) × cos(-1.13349513) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.423496170169215 × 6371000     		du = 258.693262322177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13345452)-sin(-1.13349513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42353295833346-0.423496170169215)×R²
    abs(0.20785440-0.20775852)×3.67881642450163e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.67881642450163e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.67881642450163e-05×40589641000000     		ar = 66933.6602538837m²