Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34935 / 10360
↖ ↑ ↗
← N 81.876747°
W 84.048157°		 ← 43.16 m → N 81.876747°
W 84.045410°		 →
↑
43.13 m
↓
↑
43.13 m
↓
N 81.876359°
W 84.048157°		 ← 43.16 m →
1 862 m²		 N 81.876359°
W 84.045410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266536712646484 y=0.0790443420410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266536712646484 × 217)
    floor (0.266536712646484 × 131072)
    floor (34935.5)     		tx = 34935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0790443420410156 × 217)
    floor (0.0790443420410156 × 131072)
    floor (10360.5)     		ty = 10360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34935 / 10360 ti = "17/34935/10360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34935/10360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34935 ÷ 217
    34935 ÷ 131072     		x = 0.266532897949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10360 ÷ 217
    10360 ÷ 131072     		y = 0.07904052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266532897949219 × 2 - 1) × π
    -0.466934204101562 × 3.1415926535     		Λ = -1.46691707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07904052734375 × 2 - 1) × π
    0.8419189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.64496637343622
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46691707} λ = -1.46691707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.64496637343622))-π/2
    2×atan(14.0829715132224)-π/2
    2×1.49990756829719-π/2
    2.99981513659438-1.57079632675     		φ = 1.42901881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46691707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.048157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42901881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.876747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34935 KachelY 10360 -1.46691707 1.42901881 -84.048157 81.876747
    Oben rechts KachelX + 1 34936 KachelY 10360 -1.46686913 1.42901881 -84.045410 81.876747
    Unten links KachelX 34935 KachelY + 1 10361 -1.46691707 1.42901204 -84.048157 81.876359
    Unten rechts KachelX + 1 34936 KachelY + 1 10361 -1.46686913 1.42901204 -84.045410 81.876359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42901881-1.42901204) × R
    6.77000000015582e-06 × 6371000     		dl = 43.1316700009927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42901881-1.42901204) × R
    6.77000000015582e-06 × 6371000     		dr = 43.1316700009927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46691707--1.46686913) × cos(1.42901881) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.141303018833428 × 6371000     		do = 43.1575790914055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46691707--1.46686913) × cos(1.42901204) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.141309720902663 × 6371000     		du = 43.159626075861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42901881)-sin(1.42901204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.141303018833428-0.141309720902663)×R²
    abs(-1.46686913--1.46691707)×6.7020692343378e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.7020692343378e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.7020692343378e-06×40589641000000     		ar = 1861.5026043405m²