Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34933 / 10363
↖ ↑ ↗
← N 81.875582°
W 84.053650°		 ← 43.16 m → N 81.875582°
W 84.050903°		 →
↑
43.20 m
↓
↑
43.20 m
↓
N 81.875194°
W 84.053650°		 ← 43.17 m →
1 865 m²		 N 81.875194°
W 84.050903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266521453857422 y=0.0790672302246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266521453857422 × 217)
    floor (0.266521453857422 × 131072)
    floor (34933.5)     		tx = 34933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0790672302246094 × 217)
    floor (0.0790672302246094 × 131072)
    floor (10363.5)     		ty = 10363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34933 / 10363 ti = "17/34933/10363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34933/10363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34933 ÷ 217
    34933 ÷ 131072     		x = 0.266517639160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10363 ÷ 217
    10363 ÷ 131072     		y = 0.0790634155273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266517639160156 × 2 - 1) × π
    -0.466964721679688 × 3.1415926535     		Λ = -1.46701294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0790634155273438 × 2 - 1) × π
    0.841873168945312 × 3.1415926535     		Φ = 2.64482256273736
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46701294} λ = -1.46701294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.64482256273736))-π/2
    2×atan(14.0809463768686)-π/2
    2×1.49989740713094-π/2
    2.99979481426187-1.57079632675     		φ = 1.42899849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46701294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.053650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42899849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.875582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34933 KachelY 10363 -1.46701294 1.42899849 -84.053650 81.875582
    Oben rechts KachelX + 1 34934 KachelY 10363 -1.46696500 1.42899849 -84.050903 81.875582
    Unten links KachelX 34933 KachelY + 1 10364 -1.46701294 1.42899171 -84.053650 81.875194
    Unten rechts KachelX + 1 34934 KachelY + 1 10364 -1.46696500 1.42899171 -84.050903 81.875194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42899849-1.42899171) × R
    6.779999999873e-06 × 6371000     		dl = 43.1953799991909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42899849-1.42899171) × R
    6.779999999873e-06 × 6371000     		dr = 43.1953799991909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46701294--1.46696500) × cos(1.42899849) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.141323134921336 × 6371000     		do = 43.1637230624407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46701294--1.46696500) × cos(1.42899171) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.141329846870756 × 6371000     		du = 43.1657730645589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42899849)-sin(1.42899171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.141323134921336-0.141329846870756)×R²
    abs(-1.46696500--1.46701294)×6.71194941928577e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.71194941928577e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.71194941928577e-06×40589641000000     		ar = 1864.51769513069m²