Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34919 / 103161
↖ ↑ ↗
← S 71.294628°
W 84.092102°		 ← 97.95 m → S 71.294628°
W 84.089356°		 →
↑
97.92 m
↓
↑
97.92 m
↓
S 71.295509°
W 84.092102°		 ← 97.95 m →
9 591 m²		 S 71.295509°
W 84.089356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266414642333984 y=0.787059783935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266414642333984 × 217)
    floor (0.266414642333984 × 131072)
    floor (34919.5)     		tx = 34919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787059783935547 × 217)
    floor (0.787059783935547 × 131072)
    floor (103161.5)     		ty = 103161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34919 / 103161 ti = "17/34919/103161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34919/103161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34919 ÷ 217
    34919 ÷ 131072     		x = 0.266410827636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103161 ÷ 217
    103161 ÷ 131072     		y = 0.787055969238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266410827636719 × 2 - 1) × π
    -0.467178344726562 × 3.1415926535     		Λ = -1.46768406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787055969238281 × 2 - 1) × π
    -0.574111938476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.80362584820461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46768406} λ = -1.46768406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80362584820461))-π/2
    2×atan(0.164700624806105)-π/2
    2×0.163235164093568-π/2
    0.326470328187135-1.57079632675     		φ = -1.24432600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46768406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.092102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24432600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.294628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34919 KachelY 103161 -1.46768406 -1.24432600 -84.092102 -71.294628
    Oben rechts KachelX + 1 34920 KachelY 103161 -1.46763612 -1.24432600 -84.089356 -71.294628
    Unten links KachelX 34919 KachelY + 1 103162 -1.46768406 -1.24434137 -84.092102 -71.295509
    Unten rechts KachelX + 1 34920 KachelY + 1 103162 -1.46763612 -1.24434137 -84.089356 -71.295509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24432600--1.24434137) × R
    1.5369999999848e-05 × 6371000     		dl = 97.9222699990316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24432600--1.24434137) × R
    1.5369999999848e-05 × 6371000     		dr = 97.9222699990316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46768406--1.46763612) × cos(-1.24432600) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.320701796459687 × 6371000     		do = 97.950583502965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46768406--1.46763612) × cos(-1.24434137) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.320687238261918 × 6371000     		du = 97.9461370546383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24432600)-sin(-1.24434137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320701796459687-0.320687238261918)×R²
    abs(-1.46763612--1.46768406)×1.45581977689102e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45581977689102e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45581977689102e-05×40589641000000     		ar = 9591.32578124533m²