Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34916 / 48538
↖ ↑ ↗
← S 65.132258°
E 11.799316°		 ← 256.85 m → S 65.132258°
E 11.804809°		 →
↑
256.82 m
↓
↑
256.82 m
↓
S 65.134568°
E 11.799316°		 ← 256.83 m →
65 960 m²		 S 65.134568°
E 11.804809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.532783508300781 y=0.740638732910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.532783508300781 × 216)
    floor (0.532783508300781 × 65536)
    floor (34916.5)     		tx = 34916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740638732910156 × 216)
    floor (0.740638732910156 × 65536)
    floor (48538.5)     		ty = 48538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34916 / 48538 ti = "16/34916/48538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34916/48538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34916 ÷ 216
    34916 ÷ 65536     		x = 0.53277587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48538 ÷ 216
    48538 ÷ 65536     		y = 0.740631103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53277587890625 × 2 - 1) × π
    0.0655517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.20593692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740631103515625 × 2 - 1) × π
    -0.48126220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51192981401657
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20593692} λ = 0.20593692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51192981401657))-π/2
    2×atan(0.220484073877524)-π/2
    2×0.217011984369456-π/2
    0.434023968738911-1.57079632675     		φ = -1.13677236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20593692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.799316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13677236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.132258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34916 KachelY 48538 0.20593692 -1.13677236 11.799316 -65.132258
    Oben rechts KachelX + 1 34917 KachelY 48538 0.20603279 -1.13677236 11.804809 -65.132258
    Unten links KachelX 34916 KachelY + 1 48539 0.20593692 -1.13681267 11.799316 -65.134568
    Unten rechts KachelX + 1 34917 KachelY + 1 48539 0.20603279 -1.13681267 11.804809 -65.134568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13677236--1.13681267) × R
    4.03100000001544e-05 × 6371000     		dl = 256.815010000984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13677236--1.13681267) × R
    4.03100000001544e-05 × 6371000     		dr = 256.815010000984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20593692-0.20603279) × cos(-1.13677236) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420525065506828 × 6371000     		do = 256.851566990014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20593692-0.20603279) × cos(-1.13681267) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420488492671265 × 6371000     		du = 256.829228749337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13677236)-sin(-1.13681267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420525065506828-0.420488492671265)×R²
    abs(0.20603279-0.20593692)×3.65728355631867e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.65728355631867e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.65728355631867e-05×40589641000000     		ar = 65960.4693565434m²