Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34913 / 36443
↖ ↑ ↗
← S 19.782211°
E 11.782837°		 ← 574.74 m → S 19.782211°
E 11.788330°		 →
↑
574.73 m
↓
↑
574.73 m
↓
S 19.787380°
E 11.782837°		 ← 574.72 m →
330 315 m²		 S 19.787380°
E 11.788330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.532737731933594 y=0.556083679199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.532737731933594 × 216)
    floor (0.532737731933594 × 65536)
    floor (34913.5)     		tx = 34913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.556083679199219 × 216)
    floor (0.556083679199219 × 65536)
    floor (36443.5)     		ty = 36443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34913 / 36443 ti = "16/34913/36443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34913/36443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34913 ÷ 216
    34913 ÷ 65536     		x = 0.532730102539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36443 ÷ 216
    36443 ÷ 65536     		y = 0.556076049804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.532730102539062 × 2 - 1) × π
    0.065460205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.20564930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.556076049804688 × 2 - 1) × π
    -0.112152099609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.352336212207413
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20564930} λ = 0.20564930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.352336212207413))-π/2
    2×atan(0.703043710358565)-π/2
    2×0.612765803356791-π/2
    1.22553160671358-1.57079632675     		φ = -0.34526472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20564930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.782837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34526472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.782211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34913 KachelY 36443 0.20564930 -0.34526472 11.782837 -19.782211
    Oben rechts KachelX + 1 34914 KachelY 36443 0.20574517 -0.34526472 11.788330 -19.782211
    Unten links KachelX 34913 KachelY + 1 36444 0.20564930 -0.34535493 11.782837 -19.787380
    Unten rechts KachelX + 1 34914 KachelY + 1 36444 0.20574517 -0.34535493 11.788330 -19.787380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34526472--0.34535493) × R
    9.02099999999795e-05 × 6371000     		dl = 574.727909999869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34526472--0.34535493) × R
    9.02099999999795e-05 × 6371000     		dr = 574.727909999869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20564930-0.20574517) × cos(-0.34526472) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.940985892209437 × 6371000     		do = 574.74267470405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20564930-0.20574517) × cos(-0.34535493) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.940955357186245 × 6371000     		du = 574.724024285327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34526472)-sin(-0.34535493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940985892209437-0.940955357186245)×R²
    abs(0.20574517-0.20564930)×3.05350231920576e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.05350231920576e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.05350231920576e-05×40589641000000     		ar = 330315.29698637m²