Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3491 / 980
↖ ↑ ↗
← N 79.528647°
W 26.586914°		 ← 888.09 m → N 79.528647°
W 26.542969°		 →
↑
888.37 m
↓
↑
888.37 m
↓
N 79.520658°
W 26.586914°		 ← 888.76 m →
789 252 m²		 N 79.520658°
W 26.542969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42620849609375 y=0.11968994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42620849609375 × 213)
    floor (0.42620849609375 × 8192)
    floor (3491.5)     		tx = 3491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11968994140625 × 213)
    floor (0.11968994140625 × 8192)
    floor (980.5)     		ty = 980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3491 / 980 ti = "13/3491/980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3491/980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3491 ÷ 213
    3491 ÷ 8192     		x = 0.4261474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 980 ÷ 213
    980 ÷ 8192     		y = 0.11962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4261474609375 × 2 - 1) × π
    -0.147705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46402919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11962890625 × 2 - 1) × π
    0.7607421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38994206745752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46402919} λ = -0.46402919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38994206745752))-π/2
    2×atan(10.912861714904)-π/2
    2×1.47941653538561-π/2
    2.95883307077122-1.57079632675     		φ = 1.38803674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46402919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.586914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38803674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.528647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3491 KachelY 980 -0.46402919 1.38803674 -26.586914 79.528647
    Oben rechts KachelX + 1 3492 KachelY 980 -0.46326220 1.38803674 -26.542969 79.528647
    Unten links KachelX 3491 KachelY + 1 981 -0.46402919 1.38789730 -26.586914 79.520658
    Unten rechts KachelX + 1 3492 KachelY + 1 981 -0.46326220 1.38789730 -26.542969 79.520658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38803674-1.38789730) × R
    0.000139440000000102 × 6371000     		dl = 888.372240000648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38803674-1.38789730) × R
    0.000139440000000102 × 6371000     		dr = 888.372240000648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46402919--0.46326220) × cos(1.38803674) × R
    0.000766989999999967 × 0.181743890359503 × 6371000     		do = 888.090300740169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46402919--0.46326220) × cos(1.38789730) × R
    0.000766989999999967 × 0.181881006344433 × 6371000     		du = 888.760317080482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38803674)-sin(1.38789730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181743890359503-0.181881006344433)×R²
    abs(-0.46326220--0.46402919)×0.000137115984930103×R²
    0.000766989999999967×0.000137115984930103×6371000²
    0.000766989999999967×0.000137115984930103×40589641000000     		ar = 789252.383027577m²